2015年上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)含解析答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且【考点定位】复数相等，共轭复数 3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】4 【解析】2331636444a a a a ⋅=⇒=⇒= 【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合9、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】由题意得：2()22x xf x -=+在[0,2]上单调递增，值域为1[,2]4，所以()1f x -在1[,2]4上单调递增，因此()()1y f x f x -=+在1[,2]4上单调递增，其最大值为1(2)(2)22 4.f f -+=+=【考点定位】反函数性质11、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）． 【答案】0.213、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且 ()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【考点定位】复数概念，充要关系16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112D ．132【答案】D 【解析】133313(cossin )(43)()332222OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质 18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A【考点定位】极限三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝．2．（4分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝．3．（4分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝．4．（4分）计算＝．5．（4分）设f（x）＝4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）＝．6．（4分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．7．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8．（4分）已知集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．9．（4分）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．10．（4分）函数y＝|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．11．（4分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为．12．（4分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．13．（4分）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2S sin A＜（•）sin B，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cos B cos C＞sin B sin C；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是．14．（4分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256 17．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点18．（5分）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k＝．则（）A．k＝4．B．k＝2．C．k＝1．D．k的值与公差d的大小有关．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．20．（14分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．21．（14分）椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•＝0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．22．（16分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立，请说明理由．23．（18分）已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝[﹣1，4]．【解答】解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U＝R，∴∁U A＝[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]2．（4分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝﹣1+i．【解答】解：由（z+2）（1+i）＝2i，得，∴z＝﹣1+i．故答案为：﹣1+i．3．（4分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝﹣．【解答】解：∵f（x）＝x cos x，f（a）＝，∴f（a）＝a cos a＝，∴f（﹣a）＝﹣a cos（﹣a）＝﹣a cos a＝．故答案为：﹣．4．（4分）计算＝．【解答】解：∵＝，∴＝．∴原式＝＝．故答案为：．5．（4分）设f（x）＝4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）＝1．【解答】解：由4x﹣2x+1＝0，得（2x）2﹣2•2x＝0，即2x＝0（舍）或2x＝2，解得x＝1．∴f﹣1（0）＝1．故答案为：1．6．（4分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．【解答】解：∵θ∈（，π），sin﹣cos＝，∴1﹣sinθ＝，∴sinθ＝，∵θ∈（，π），∴cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：．7．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π＝．故答案为．8．（4分）已知集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【解答】解：集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n＝23＝8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m＝5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p＝．故答案为：．9．（4分）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【解答】解：如图，＝＝3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×＝，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM＝3（+OM）＝；故答案为：．10．（4分）函数y＝|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【解答】解：y＝|2x|+|x|＝|1+log 2x|+|log2x|＝f（x）．当x≥1时，f（x）＝1+2log2x≥1，当且仅当x＝1时取等号；当0＜x1时，f（x）＝﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x＝时取等号；当时，f（x）＝1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．11．（4分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，关于直线y＝x对称，记函数h（x）＝，∴可知h（x）关于直线y＝x对称．∵y＝x与y＝5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y＝5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2＝2×＝5∴函数F（x）＝h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y＝5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）＝h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．12．（4分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c＝2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝s2+t2﹣2st cos60°即s2+t2﹣st＝16，由椭圆的定义可得s+t＝2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t＝2n（n＞0），解得s＝m+n，t＝m﹣n．即有16＝（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）＝m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m＝n，取得最大值．故答案为：．13．（4分）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2S sin A＜（•）sin B，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cos B cos C＞sin B sin C；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是④．【解答】解：∵2S sin A＜（•）sin B，∴2×bc sin A×sin A＜ca cos B sin B，∴可得：bc sin A sin A＜ac sin B cos B，又由正弦定理可得：b sin A＝a sin B＞0，则cos B＞sin A＞0，可得：B是锐角，①若A为锐角，而cos B＝sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sin A，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C＝＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A＝＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝﹣cos A＜0，故③不正确；②若A为钝角，∠C＜90°，∴由余弦定理可得：cos∠C＝＞0，即有：c2＜a2+b2，故②不正确，∴由余弦定理可得：cos∠A＝＜0，可得a2＞b2+c2，故①不正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝﹣cos A＞0，故③正确；综上可得：④正确．故答案为：④．14．（4分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．【解答】解：（1）取a2＝﹣19，a3＝﹣7时，﹣7＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝，a4＝不成立；（2）取a2＝﹣19，a3＝﹣3时，﹣3＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（3）取a2＝﹣19，a3＝5时，5＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝5×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣7，，不成立；（4）取a2＝﹣19，a3＝10时，10＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝10×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（5）取a2＝﹣19，a3＝29时，29＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣2，a4＝29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝﹣67，不成立；（6）取a2＝﹣7，a3＝﹣3时，﹣3＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a3＝﹣3；（7）取a2＝﹣7，a3＝5时，得5＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣2，∴a4＝﹣2×5﹣3×2﹣3＝﹣19，a5＝﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3＝29，∴﹣7＝﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1＝﹣1；（8）取a2＝﹣7，a3＝10时，10＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣，，不成立；（9）取a2＝﹣7，a3＝29时，29＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣8，a4＝29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3＝﹣259，不成立；（10）取a2＝﹣7，a3＝﹣19时，﹣19＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝4，a4＝﹣19×4+3×4﹣3＝﹣67，不成立；（11）取a2＝﹣3，a3＝﹣19时，﹣19＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2＝﹣3，a3＝﹣7时，﹣7＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2＝﹣3，a3＝5时，5＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2＝﹣3，a3＝10时，10＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2＝﹣5，a3＝29时，29＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2＝5，a3＝﹣19时，﹣19＝5p+3p﹣3，解得p＝﹣2，a4＝﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝29，a5＝29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝﹣67，不成立；（17）取a2＝5，a3＝﹣7时，﹣7＝5p+3p﹣3，解得p＝﹣，＝﹣1，不成立；（18）取a2＝5，a3＝﹣3时，﹣3＝5p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（19）取a2＝5，a3＝10时，10＝5p+3p﹣3，解得p＝，，不成立；（20）取a2＝5，a3＝29时，29＝5p+3p﹣3，解得p＝4，a4＝29×4+3×4﹣3＝125，不成立；（21）取a2＝10，a3＝﹣19时，﹣19＝10p+3p﹣3，解得p＝﹣，，不成立；（22）取a2＝10，a3＝﹣7时，﹣7＝10p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝﹣7×（）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（23）取a2＝10，a3＝﹣3时，﹣3＝10p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（24）取a2＝10，a3＝5时，5＝10p+3p﹣3，解得p＝，a4＝＝，不成立；（25）取a2＝10，a3＝29时，29＝10p+3p﹣3，解得p＝，a4＝29×+3×﹣3＝，不成立；（26）取a2＝29，a3＝﹣19时，﹣19＝29p+3p﹣3，解得p＝﹣，＝5，，29＝﹣﹣3×，解得a1＝﹣67；（27）取a2＝29，a3＝﹣7时，﹣7＝29p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝﹣7×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（28）取a2＝29，a3＝5时，5＝29p+3p﹣3，解得p＝，a4＝5×+3×﹣3＝1，不成立；（29）取a2＝29，a3＝10时，10＝29p+3p﹣3，解得p＝，a4＝10×＝，不成立；（30）取a2＝29，a3＝﹣3时，﹣3＝29p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，∴k＝±1，∴k＝1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．16．（5分）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256【解答】解：令二项式（2﹣）8中的x＝1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8＝1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．17．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【解答】解：①y＝x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A 不正确，②y＝x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）＝﹣1，f（b）＝1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选：D．18．（5分）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k＝．则（）A．k＝4．B．k＝2．C．k＝1．D．k的值与公差d的大小有关．【解答】解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为＝a1008，所以λ1＝[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]＝•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2＝[（﹣a1﹣d）2+（﹣a1﹣d）2+…+（﹣a1﹣d）2]＝•（12+22+…+10072）．所以k＝＝2，故选：B．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【解答】解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C＝C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1＝y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1＝y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB 1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．20．（14分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1）当10＜x＜100时，W＝xR（x）﹣（40+16x）＝4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x＝50．21．（14分）椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•＝0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【解答】解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2＝2，又•＝0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2＝a2﹣c2＝2﹣c2，所以c2﹣2c+1＝0得c＝1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2＝2，y1+y2＝1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2＝2得，即有x1+x2＝2，x1x2＝．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2＝2得，则有．22．（16分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立，请说明理由．【解答】解：（1）＝，函数f（x）的最小正周期T＝π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）＝1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）＝1成立．23．（18分）已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4，令n＝1，2，3分别得a1b1＝4，a1b1+a2b2＝20，a1b1+a2b2+a3b3＝68，又a1＝2，∴，即，解得：或．经检验d＝2，q＝2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1＝4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n＝kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb＝0恒成立，∴q＝2，b＝0，又a1＝2，∴k＝2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q＝2020，化简得4p2+8p﹣501＝2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q＝2．得4p2+8p﹣501＝1，即2p2+4p﹣251＝0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n＝2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ＝±1满足条件．。

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD 的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）B17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f （t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ= {1，4}．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．，则，则=a=1+i，b=故答案为：3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．，是方程组，是方程组4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．•a=16的等边三角形，面积为•a=165．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．=16．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．=故答案为：．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．，即故答案为：．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．[在[[]11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．1+x+，令．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．1 2 3 4 5（1.42.8 4.2 5.6====（1+2+3+13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为8．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=﹣．cosA=，∴，，，∴tanA=，∴，联立，得cosA=，得∴•=．故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）B4=，=逆时针旋转，则，）sin）（×+ +6=17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是，）18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）y=y=，而∴三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．的法向量为，所以，即，，所以，=arcsin20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．=h=PC=时，，＜，综合可得当=×千米，=PC==时，乙在，＜＜，21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．xd=|AB|=2|AO|=2的斜率为﹣，可求得的斜率分别为，则，利用xd=|AB|=2|AO|=2的斜率为﹣，消去±==|=的斜率分别为，则，∴（+4+=，．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．，求得，然后分﹣∈∴∴）可得，单调递减，有最大值；∴∈∴，23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．=x+sin∴参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；孙佑中；maths；caoqz；刘长柏；翔宇老师；danbo7801；sxs123；雪狼王；lincy；wfy814；wkl197822（排名不分先后）菁优网2015年7月10日第21页（共21页）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则UAB =_________。

2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。

3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。

5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。

7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。

28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。

9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。

若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。

10．设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。

11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。