三角函数求最值高三第一轮复习课件

三角函数最值问题基本题型分析

求三角函数的最值问题是三角函数性质的一个重要的应用，其主要的思路就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类型的三角函数或代数函数，然后利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理。因此我们有必要对几种基本类型的三角函数加以研究，以便于我们找到共同的方法去处理这类问题。本文从几种常见的求三角函数最值问题的基本题型出发，来分析一下这类题目的解法。

一、bxaysin(或bxaycos)型

基本思路：利用1sinx(或1cosx)即可求解，但必须注意字母a的符号对最值的影响。

例1、 求函数bxaysin 0a的最大值。

解：由于1sinx，所以1sin1x，且0a，从而函数bxaysin

0a的最大值为ba。

二、xbxaycossin型

基本思路：引入辅助角，化为)sin(22xbay，利用1)sin(x即可求解。

例2、求函数xxycos3sin4的值域。

解：由xxycos3sin4得：)sin(3422xy)sin(5x (其中43tan)。由1|)sin(|x得5,5y。

三、cxbxaysinsin2(或cxxycoscos2)型

基本思路：可令xtsin(或xtcos) 1t化归为闭区间上的二次函数的最值问题。

例3、求函数3cos2sin2xxy的值域。

分析：此类题目可以转化为cxxycoscos2型的三角函数的最值问题。

解：由于3cos2sin2xxy

3cos2cos12xx

2cos2cos2xx， 令xtcos 1t则原式转化为：222tty 1t

对上式配方得：1)1(2ty 1t

从而当1t时，5miny；当1t时，1maxy。

探讨几种常见的三角函数最值问题

作者：张桂祥

来源：《成才之路》 2014年第36期

江苏 射阳 张桂祥

近些年来，有关三角函数的最值问题逐渐成为各等级高中数学考试的重点。通过对三角函数最值一类问题的教学，可以帮助学生强化数学知识与数学思想之间的联系，同时有利于培养学生的数学思维。下面，我们来探讨几种常见的三角函数最值问题。

一、三角函数最值常见类型

（1）一次型三角函数。一次型三角函数是指那些三角函数的幂次数等于一的函数类型，例如：等。对此，此类函数的求法较为多样，也较为简单，可以总结为“遇不同，化相同”。

（2）二次型三角函数。二次型三角函数即是三角函数的幂指数出现大于一的情形，如等。此类三角函数最值的求解，常常利用三角函数的性质来求解。

（3）分数型三角函数。分数型三角函数问题常常会给学生们的函数最值带来困难，尤其是对分母的存在性定义是很多学生容易遗忘的地方。对于分式型三角函数，我们常常是将分数型转换成一次性，或是采用换元等方法，实现对分数型的转换和化简。

二、三角函数最值问题求解策略

（1）三角函数有界性求解。三角函数的最值问题归根到底都是函数的有界性问题，在定义域不做限制的情况下，利用三角函数自身的有界性是解决基础性函数最值问题的有效手段。

利用三角函数的周期性，结合函数图像性质，我们即可求得具体的函数表达式。对于三角函数最基础的有界性、单调性、周期性等原则的掌握，是学生们解决函数最值问题的核心，只有学生们的函数基础扎实了，函数最值与其他数学知识的综合问题学生们才能求解的得心应手。

（2）参数替换法求解。在高中数学函数教学中，学生们常常会产生畏惧情绪，面对一长串的三角函数表达式，他们常常会不知所措。对此，教师可以采用参数替换的方法，将原本的表达式进行简化和合并，从而更加容易的发现其中的最值求解之道。提到参数替换（换元）的方法，我们不得不再次提醒关于参数的取值范围问题，只有定义域判断正确，才能求出正确的值域和最值。

三角函数最值问题的几种解法

三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

一 配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1 函数3cos3sin2xxy的最小值为（ ）.

A． 2 B . 0 C . 41 D . 6

[分析]本题可通过公式xx22cos1sin将函数表达式化为2cos3cos2xxy，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则,23,112ttyt配方，得41232ty, ,11t当t=1时,即cosx=1时，0miny,选B.

例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值

[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

48331612,,221sin683316812,,22,1sin,1sin183345sin21sin5sin2sin21sin5maxmin222yzkkxxyzkkxxxxxxxxy

二 引入辅助角法

例3已知函数Rxxxxy1cossin23cos212当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解。

课题：三角函数的最值

教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题．

教学重点：求三角函数的最值．

（一） 主要知识： 求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：

①sinyaxb，设sintx化为一次函数yatb在闭区间[1,1]t上的最值求之；

②sincosyaxbxc，引入辅助角2222(cos,sin)ababab，化为22sin()yabxc求解方法同类型①；

③2sinsinyaxbxc，设sintx，化为二次函数2yatbtc在[1,1]t上的最值求之；

④sincos(sincos)yaxxbxxc，设sincostxx化为二次函数2(1)2atybtc在闭区间[2,2]t上的最值求之；

⑤tancotyaxbx，设tantx化为2atbyt用法求值；当0ab时，还可用平均值定理求最值；

⑥sinsinaxbycxd根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．

（二）主要方法：

①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法；⑥导数法

（三）典例分析：

问题1． 求函数的最大值和最小值：

1sincos()6yxx； 2(sin2)(cos2)yxx

问题2．求下列各函数的最值：1求函数23sin13siny(0,)x的最大值； 22sinsinyxx(0,)x的最小值．32cos(0)sinxyxx的最小值．

问题3．1（95全国文）函数coscos3yxx的最大值是

2()3sin105sin70fxxx的最大值是 .A5.5 .B6.5.C7.D8