抛物线的参数方程

抛物线的参数方程及焦点作图

加兴一中沈保康

文中涉及的抛物线均假定顶点在原点,

准方程是

yl=Zpx(p)0)

(一)抛物线的参数方程参数的几何意又轴为对称轴,

且井口向右,

即抛物线的标

(1)

二p,

则抛物线yZ二Zpx

的参数方程为护

一a2

适使当选取正数a、

b,

{

(一

co

(2)

i、

p(a、

b)是抛物线(2)上的点。

证:

令t二1、

则x=a、

y=b,

故知点(Pa、

b)在抛物线(2)上。

显然,

结论可逆。

换言之,

假定(Px。、

y。

)是抛物线(1)上的点(异于原点),

那末

(1)的参数方程即可写成

{x=x。

七艺

y=yot

例如p:

(

分别写成)Pp:

(Zp、

2P)是抛物线(1)上的点,

因此对应于(l)的参数方程可P2

铲p一2

{

y=Pt{x二ZPt,

y=ZPt

2、

参数方程(2)中参数t

的几何意义

过定点p(a、

b)作PM上OX,

PN土Oy(如图l)

对任意给定的参数七,

分别在NP,

ON上取点A、

B,

使

NA

NP

连结O、

A,

过点B作OX的平行线交OA于点

C,

则C是抛物线(2)上的点。

事实上,

设C点的坐标为(

xc、

yc),

作CD_

L

OX,

则

OD

但

OD=工c,

DC=yc不

二BC=

NA。

。

NP)󰀀

t=at名

一6

一2

DC=

OB二t󰀀

ON二

bt,

:’xc=atZ,

ge=bt。

这表明点C(xc,

y。

)是抛物线(2)上的点,

由此可知,

抛物线(2)中参数t

的儿凡意义为,

抛物线上任意一点的纵坐标与抛物

线上定点(a,

b)的纵坐标之比。

利用上述结果,

即可得到抛物线作图的一种方法。

例如抛物线拱形中已知量为跨度

L,

矢高f如图2(已旋转90。

),

即相当于抛物线(2)中

L_

…_、、

_1Zn一l

a=f,

b“一

斧因此若依次取t二一

毛一

么…兰

份兰,

-`,一

2。

目~洲’价少、

~`n、n、、、n

如上法则相应可得C;、

C:、

…On一;;

再根据对称性另得

n一1

个点,

把有关诸点用光滑曲线相连,

就是通常课斗中介

绍的抛物线拱形作图方法。

(二)抛物线焦点作图

1、

由抛物上一已知点p

3抛物线的参数方程

抛物线是一种常见的曲线形式，其参数方程和一般的曲线方程有所不同。参数方程是通过引入一个参数来描述曲线上的点的位置，使得我们可以用参数的取值来确定点的坐标。

抛物线的参数方程可以表示为：

x=a*t^2+b*t+c

y=d*t^2+e*t+f

其中，a，b，c，d，e，f是任意常数，t是参数。

下面我们来详细解释抛物线的参数方程。

1.抛物线的基本定义

抛物线是平面上一条曲线，在点到定点和直线的距离相等的条件下生成。抛物线通常由焦点和直线称为准线组成，准线是一条与抛物线对称的直线，与抛物线联接焦点的所有线段都会与准线垂直。

2.抛物线的标准方程

抛物线的标准方程可以表示为：

y = ax^2 + bx + c

其中，a，b，c是由抛物线的特征决定的常数。通过标准方程，我们可以了解抛物线的开口方向、焦点位置等。

3.将抛物线的标准方程转化为参数方程 为了将抛物线的标准方程转化为参数方程，我们需要引入一个参数t。在参数方程中，t是用来确定点的位置的。具体转化步骤如下：

1)首先，假设曲线上的一个点为P(x,y)，其中x和y是点P的坐标。

2)令x=a*t^2+b*t+c，并代入抛物线的标准方程中得到：

y=a*(a*t^2+b*t+c)^2+b*(a*t^2+b*t+c)+c

3)对于参数方程来说，x和y是t的函数，也就是说x=x(t)和y=y(t)。因此我们可以将上述方程进一步简化为：

y(t)=a*(a*t^2+b*t+c)^2+b*(a*t^2+b*t+c)+c

通过将抛物线的标准方程转化为参数方程，我们可以通过给定t的值来求得抛物线上任意一点的坐标。

4.抛物线的参数方程的性质

抛物线的参数方程具有一些特殊的性质，如下所示：

1)抛物线是关于t对称的，也就是说如果点P(x,y)在抛物线上，那么点P(-x,y)也在抛物线上。

2)抛物线的开口方向由参数a的正负决定。如果a大于0，抛物线向上开口；如果a小于0，抛物线向下开口。

2011—2012学年第一学期组内公开课教学设计

1 课 题：抛物线及其标准方程(一)

教学目标：① 让学生理解抛物线的概念及与椭圆、双曲线第二定义的联系。

② 让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。

能力目标: ① 培养建立适当坐标系的能力。

② 培养学生的观察、比较、分析、概括的能力。

情感态度：① 培养学生的探索精神

价值观 ② 渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育

教学重点：抛物线的定义及标准方程的推导。

教学难点：标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。

教学方法：启发诱导式

教学手段：多媒体辅助教学

教学过程：一、温故知新，导入新课

复习提问：什么是椭圆和双曲线的第二定义？

学生回答：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l()Fl的距离的比是常数e的点的轨迹，当O1时是双曲线。

追问：那么当e=1时又是什么曲线呢？

指出：这就是抛物线，也是我们今天要研究的问题

二．动手实验，得出定义

学生动手实验，教师指导。

教师演示动画

学生得出抛物线定义

定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l()Fl的距离相等的点的轨2011—2012学年第一学期组内公开课教学设计

2 迹叫做抛物线。其中定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫抛物线的准线。

三、适当建系，推导方程

设问：回忆求曲线方程的一般步骤。

追问：如何建立适当的直角坐标系，推导抛物线的方程。

教师巡视：利用投影仪展示学生中典型的建系方式以及得出的不同方式形式，让学生观察比较。

总结比较：得出抛物线标准方程

四、标准方程，四种形式

设问：推导抛物线的标准方程还有其它建系方式吗？

追问：如何得到相应的方程？请说出每个方程对应曲线的对称轴，开口方向焦点坐标，准线方程，并从中找出规律。

五、运用概念 ，加深理解

例 ： (1)已知抛物线方程26yx，求焦点坐标及准线方程。

- 1 - 抛物线的参数方程

抛物线的参数方程是在数学中研究特殊数学曲线的重要方程。抛物线又称二次曲线，它是一类几何图形，具有两个控制点，即它们位于抛物线上下两个对称的位置。它们之间的距离称为抛物线的焦距。抛物线的参数方程是用来研究这类曲线的特殊方程。

抛物线的参数方程，可以用一般式来表示：

y=ax^2+bx+c

其中，a,b,c 为参数，而 a≠0，它们代表抛物线的不同参数，即抛物线的形状受到这些参数的影响。

关于抛物线的参数方程，它的定义域主要有以下三种：

1、标准参数方程：

x=at^2+bt+c

y=mt^2+nt+p

2、任意参数方程：

x=at^2+bt+c+d

y=mt^2+nt+p+q

3、双参数方程：

x=at^2+bt+c+u*v

y=mt^2+nt+p+u*v

这三种定义域的抛物线参数方程，都具有相同的特点，即抛物线的两个控制点都是对称的，而且在抛物线上存在一个焦点，也就是通过抛物线的两个控制点，可以求得抛物线的焦点。 - 2 - 由抛物线的参数方程，可以求得抛物线的焦点的坐标。抛物线的焦点的坐标为：

（-b/2a, -D/4a）

其中，D=b^2-4ac

由抛物线的参数方程，可以求得抛物线的焦距：

c=2√AD/a

其中，A=D/b

而参数方程，可以求得抛物线的离心率：

e=c/a

抛物线的参数方程，也可以用来计算抛物线的重心、面积和弧长。首先，求抛物线的重心：

重心的坐标为：（-b/3a, -D/6a）

然后，求抛物线的面积：

A=πa/3*(b^2+3D)

最后，求抛物线的弧长：

l=2π√(a^3/D)

以上就是抛物线的参数方程的主要内容，随着数学发展，抛物线的参数方程也在不断发展。抛物线的参数方程不仅可以用来描述抛物线的特征，而且也在许多应用领域，如机械、电子、结构分析等方面发挥着重要的作用。