完整word版高二数学导数大题练习题

完整word版高二数学导数大题练习题

一、解答题

1．已知函数lnfxxxx，2ln1gxaxx.

(1)求函数fx的最小值；

(2)若0gx在0,上恒成立，求实数a的值；

(3)证明：1111232022e2023，e是自然对数的底数.

2．已知函数1ln0fxaxxax．

(1)当1x时，0fx恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当1a时，21gxxfxx，方程gxm的根为1x、2x，且21xx，求证：211exxm．

3．已知2,13,1xxxfxxx，lngxxa．

(1)存在0x满足：00fxgx，00fxgx，求a的值；

(2)当4a时，讨论hxfxgx的零点个数．

4．已知aR，函数22ee2xaxfxx．

(1)求曲线yfx在0x处的切线方程

(2)若函数fx有两个极值点12,xx，且1201xx，

（ⅰ）求a的取值范围；

（ⅱ）当9a时，证明：212e6e4axxaa．

（注：2.71828e…是自然对数的底数）

5．已知函数()ln.fxxxaxa

(1)若1x时，()0fx恒成立，求a的取值范围；

(2)当1a，01b时，方程()fxb有两个不相等的实数根12,xx，求证：121.xx

6．已知函数lnfxx，21gxxx．

(1)求函数hxfxgx的单调区间；

(2)若直线l与函数fx，gx的图象都相切，求直线l的条数．

7．已知函数exfxkx，28lnagxxxaRx.

(1)当1k时，求函数fx在区间1,1的最大值和最小值；

(2)当0fx在1,22有解，求实数k的取值范围； (3)当函数gx有两个极值点1x，212xxx，且11x时，是否存在实数m，总有21221ln51axmxxx成立，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.

8．已知函数32131.3fxxaxx

(1)若1a，求函数()fx的单调区间;

(2)证明：函数()2yfxa至多有一个零点.

9．已知函数1lnfxxx

(1)求函数fx的单调区间和极值；

(2)若mZ，1mxfx对任意的1,x恒成立，求m的最大值.

10．设函数3()65fxxxxR，.

(1)求函数()fx的单调区间；

(2)若关于x的方程()fxa有三个不等实根，求实数a的取值范围.

【参考答案】

一、解答题

1．(1)1

(2)2

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求导求单调性即可求解；

（2）220axgxxx，分类讨论单调性得到ln1222maxgxaaa，

要使0gx在0,恒成立，则0maxgx，即ln10222aaa，

又由（1）可得到ln10222aaa，所以ln10222aaa，即可求解；

（3）由（2）知22ln1gxxx得到22ln1xx，所以ln1tt，

所以e1xx，即11e>nnn，代入证明即可.

(1) fx的定义域为0,，

()lnfxx，当0,1x时，()0fx，当(1,)x时，0,fx

故fx在01,上单调递减，在(1,)上单调递增.

所以11minfxf.

(2)

2220aaxgxxxxx，

当0a时，0gx，gx在0,上单调递减，

此时存在00,1x，使得010gxg，与题设矛盾.

当0a时，(0,)2ax时，0gx，()2ax,时，0gx，

故gx在(0,)2a上单调递增，在(,)2a上单调递减，

所以ln1ln1222222maxaaaaaaggxa，

要使0gx在0,恒成立，则0maxgx，即ln10222aaa

又由（1）知ln1fxxxx，即ln1xxx，（当且仅当1x时，等号成立）.

令2ax有ln10222aaa，故ln10222aaa且12a

所以2a.

(3)

证明：由（2）知22ln1gxxx得22ln1xx（当且仅当1x时等号成立），

令0xtt，则ln1tt（当且仅当1t时等号成立），

令ext，所以lnee1xx，即e1xx（当且仅当0x时等号成立），

令*10xnNn，则111e>1nnnn

从而有11111320212022223420222023eeeee>12320212022

所以111112320212022e2023.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，

对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

2．(1)02a

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）分析可知1x，01fxf，分02a、2a两种情况讨论，利用导数分析函数fx在1,上的单调性，验证1fxf对任意的1x是否恒成立，由此可求得实数a的取值范围；

（2）利用导数分析函数gx的单调性，可得出12101xxe，证明出31xx，证明出当1,1ex时，11e1gxx，可得出241e1xxm，结合不等式的性质可证得结论成立.

(1)

解：因为1ln0fxaxxax，则222111axaxfxxxx，且10f，

由题意可知，对任意的1x，01fxf，

设21yxax，则24a，

（ⅰ）当02a时，0，0fx恒成立且fx不恒为零，fx在1,上是减函数，

又因为10f，所以0fx恒成立；

（ⅱ）当2a时，0，方程210xax的根为2142aax，2242aax，

又因为121xx，所以121xx．

由0fx得2412aax，由0fx，得242aax，

所以fx在241,2aa上是增函数，在24,2aa上是减函数，

因为10f，所以0fx不恒成立．

综上所述，02a． (2)

证明：当1a时，21lngxxfxxxx，1lngxx，

由0gx，可得10ex，由0gx，可得1ex，

所以gx在10,e上是减函数，在1,e上是增函数，则min11eegxg，

当01x时，ln0gxxx，所以，12101xxe，且10em，

当10,ex时，ln1x，所以lnxxx，即gxx．

设直线yx与ym的交点的横坐标为3x，则3111lnxmxxx，

下面证明当1,1ex时，11e1gxx，

设111ln1lne1e1e1hxxxxxxx，

令11lne1e1pxxx，则22e1111e1e1xpxxxx，

当11ee1x时，0px，当11e1x时，0px，

所以px在11,ee1上是减函数，在1,1e1上是增函数，

又因为10ep，10p，所以当11ex时，0px，0hx，

故当1,1ex时，11e1gxx．

设直线111eyx与ym的交点的横坐标为4x，则41e1xm，可得41e1xm，

如下图所示：

则241e1xxm，所以21431exxxxm，得证．

【点睛】 方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式fxgx（或fxgx）转化为证明0fxgx（或0fxgx），进而构造辅助函数hxfxgx；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

3．(1)0a或4；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）在1x有2000ln21xxx，构造中间函数并利用导数研究单调性和零点情况，求参数a，在1x上根据已知列方程组求参数a，即可得结果.

（2）讨论a的范围，利用导数研究hx的单调性，结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数.

(1)

1x时2fxxx，原条件等价于200000ln()1210xxxaxxa，

∴2000ln21xxx，

令2ln21xxxx，则221021xxx，

∴x为增函数，由10，则0x有唯一解01x，所以0a，

1x时，000311xlnxaxa，解得：4a．

综上，0a或4．

(2)

ⅰ.0a时0xa，则0xa，22lnlnhxxxxaxxxx，

而121xxx，2120xx，即x为增函数，又01，

当0,1x时0x；当1,x时0x，故10x，

∴0hx恒成立，故0a时零点个数为0；

ⅱ.0a时，2lnhxxxx，由①知：仅当1x时0hx，此时零点个数为1．