同济大学高等数学下册教材

总 习 题 六

1 一金属棒长3m 离棒左端xm处的线密度为11)(xx

(kg/m) 问x为何值时 [0 x]一段的质量为全棒质量的一半?

解 x应满足300112111dttdttx

因为212]12[1100xtdttxx 1]12[2111213030tdtt

所以 1212x

45x(m)

2 求由曲线asin a(cossin)(a>0)所围图形公共部分的面积

解

432222)sin(cos21)2(21daaS

24322241)2sin1(28adaa

3 设抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 且当x[0 1]时 y0

试确定a、b、c的值 使得抛物线cbxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为94 且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小

解 因为抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 所以c0 从而

bxaxy2

抛物线bxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为

23)(102badxbxaxS

令9423ba

得968ab

该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

)235()(221022abbadxbxaxV

)]968(2)968(315[22aaaa

令0)]128(18181863125[aaaddV

得35a 于是b2

4 求由曲线23xy与直线x4 x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积

习题11

1 设A( 5)(5 ) B[10 3) 写出AB AB A\B及A\(A\B)的表达式

解 AB( 3)(5 )

AB[10 5)

A\B( 10)(5 )

A\(A\B)[10 5)

2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (AB)CAC BC 

证明 因为

x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC  xAC BC

所以 (AB)CAC BC 

3 设映射f  X Y AX BX  证明

(1)f(AB)f(A)f(B)

(2)f(AB)f(A)f(B)

证明 因为

yf(AB)xAB 使f(x)y

(因为xA或xB) yf(A)或yf(B)

 yf(A)f(B)

所以 f(AB)f(A)f(B)

(2)因为

yf(AB)xAB 使f(x)y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y

f(A)f(B)

所以 f(AB)f(A)f(B)

4 设映射f  XY 若存在一个映射g YX 使XIfg YIgf 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射 即对于每一个xX 有IX xx 对于每一个yY 有IY yy 证明 f是双射 且g是f的逆映射 gf 1

证明 因为对于任意的yY 有xg(y)X 且f(x)f[g(y)]Iy yy 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f为X到Y的满射

高等数学下同济版教材

高等数学是大学中重要的数学课程之一，它包含了大量的数学理论和方法。而同济大学出版社的《高等数学》教材则是广大学生学习这门课程的主要教材之一。本文将对《高等数学下》同济版教材进行简要的介绍和分析。

第一部分：教材特点

《高等数学下》同济版教材是高等数学教材系列中的下册，主要涵盖了多元函数、重积分和曲线积分、级数和多项式逼近等内容。与其他教材相比，同济版教材具有以下几个特点：

1. 理论与实践结合：教材在理论讲解的同时，注重实际应用。通过大量的例题和习题，帮助学生理解和掌握数学理论，并将其应用于实际问题的解决中。

2. 知识层次清晰：教材内容编排合理，层次分明。从基础的多元函数开始，逐步展开，使学生能够有条理地学习和理解高等数学的知识。

3. 突出问题和思考：教材中穿插了一些经典难题和思考题，激发学生对数学问题的思考和探索，培养学生的创新思维和解决问题的能力。

4. 图文并茂：教材配有大量的图表和实例，便于学生对数学知识的理解和记忆。同时，图表的精心设计和排版也使得教材整体更加美观。

第二部分：教材内容 《高等数学下》同济版教材的内容非常全面，涵盖了多元函数、重积分和曲线积分、级数和多项式逼近等多个章节。以下是对一些重要内容的简要介绍：

1. 多元函数：这一章节介绍了多元函数的定义、极限、连续性等基本概念。通过对多元函数的研究，学生可以更好地理解和应用微积分的基本原理。

2. 重积分和曲线积分：本章主要介绍了重积分和曲线积分的概念、性质和计算方法。学生可以通过学习这一部分内容，了解到积分在实际问题中的应用和计算方法。

3. 级数和多项式逼近：级数是高等数学中的重要概念，这一章节介绍了级数的概念、性质和求和方法。同时，还介绍了多项式逼近的原理和方法，帮助学生理解和应用级数和多项式逼近的相关知识。

第三部分：教材优缺点

《高等数学下》同济版教材在教学实践中得到了广泛的应用和肯定，但也存在一些不足之处。

习题118

1 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)

(1))2121(1)(2xxxf

解 因为f(x)1x2为偶函数 所以bn0(n1 2   ) 而

611)1(4)1(2/12210221020dxxdxxa

21022/1cos)1(2/12dxxnxan

2212102)1(2cos)1(4nxdxnxn(n1 2   )

由于f(x)在( )内连续 所以

12122cos)1(11211)(nnxnnxf x( )

(2)121 1210 101

)(xxxxxf

解 21)(1212100111dxdxxdxdxxfan

1212100111coscoscoscos)(xdxnxdxnxdxnxxdxnxfan

2sin2])1(1[122nnnn (n1 2   )

dxxnxdxnxdxnxxdxnxfbn1212100111sinsinsinsin)(

nnn12cos2 (n1 2   )

而在( )上f(x)的间断点为x2k 212k k0 1 2   

故 }sin2cos21cos]2sin2)1(1{[41)(122xnnnxnnnnxfnn