刘徽与“割圆术”

割圆术——刘徽《九章算术注》

割圆术（cyclotomic method）

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率” ，另一个是“密率”，其中 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。

割圆术

割圆术（cyclotomic method）

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。

这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来

的一种崭新的方法。

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）

的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，

用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值

要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的

关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然

要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既

大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与

圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等

分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正

六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那

么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周

分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一

直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与

圆周“合体”而完全一致了。

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求

得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精

确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各

刘徽求圆周率的方法

刘徽是三国时期的数学家，他提出的割圆术是一种巧妙的求圆周率的方法。这种算法通过在圆内接正多边形，然后逐步分割，使得多边形的边数越来越多，最后收敛于圆，从而达到计算圆周率的目的。

首先，刘徽从圆内接正6边形开始，他将正6边形的边数加倍，得到了圆内接正12边形。接下来，他又将正12边形的边数加倍，得到了圆内接正24边形。以此类推，他继续将圆内接正多边形的边数加倍，直至圆内接正192边形。

刘徽发现，圆内接正192边形的边长已经非常接近于圆的半径，因此他断定，如果再继续分割，就会与圆周合体而无所失矣。这就是说，圆内接正192边形的周长已经非常接近圆周，可以近似地认为是圆周的长度。

通过这种方法，刘徽计算出了圆周率约为3.14159，这是中国古代数学家在圆周率计算方面取得的重要成果。刘徽的割圆术包含了求极限的思想，为我国古代的圆周率计算确立了理论基础，对后世的数学发展产生了深远的影响。

刘徽和割圆术

中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。

刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。

在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。这就是著名的圆面积公式:

(1)

其中S表示圆面积，C表示周长，R表示半径。我们今天可以得出这个公式是正确的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。在今天，我们可以看出用圆内12SCR接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。为了给出这一公式的严格证明方法，刘徽发明了割圆术。所谓割圆术其实就是现代微积分中的极限的思想，即用圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积。正如他在《九章算术注》中所说“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割则与圆合体而无所失矣”。在利用这一方法证明这一公式的过程中，刘徽还计算出了当时最精确的圆周率近似值---徽率（ ），