刘徽的故事

刘徽是哪个朝代的

刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东滨州邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。刘徽在曹魏景初四年注《九章算术注》。

但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值。刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年来中国圆周率计算在世界上的领先地位。

刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等。刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系。

刘徽的无限思想及其解释*

摘 要 该文包括两方面的内容．一是从无限分割过程、不可分量可积性、有限过程等几个方面重新考察了刘徽的无限思想，力图澄清此课题的研究中存在的若干误解．二是从中国古代数学传统，刘徽的思想渊源特别是他受墨家、道家和玄学思想的影响等方面对刘徽利用无限思想处理问题的方式进行解释．

在中国古代数学史上，刘徽的无限思想占有非常重要的地位．近年来关于刘徽无限思想的本身已有很多研究，对其思想渊源亦有一些论述，但仍有一些问题有待于进一步的探讨．本文拟在前人工作的基础上，重新考察刘徽的无限思想，并通过分析他所受的哲学思想的影响，来解释刘徽利用无限思想来处理问题的方式．

１ 刘徽注中的无限过程

刘徽直接用到无限过程的只有阳马术注和割圆术[1]．

1.1 阳马术注中的无限过程 刘徽在证明从一般情形下的一个堑堵（斜割长方体后所得的直三棱柱）中分割出来的阳马（一棱垂直于底的四棱锥）和鳖臑（各面为直角三角形的四面体），其体积之比为2比1的定理(吴文俊称之为刘徽原理)时，采取这样的步骤：首先，把堑堵的三度分割成两半，成为一些小的阳马、堑堵和鳖臑，然后重新组合，便得到在原堑堵的四分之三中阳马和鳖臑所占体积之比为2比1，那就只要考虑余下的四分之一部分中情况了，由于这四分之一部分又是二个与原堑堵结构完全一样的堑堵，于是刘徽又可以进行同样的分割，然后重新组合这些更小的形体，这样他又证明了在这四分之一部分的四分之三中，阳马和鳖臑的体积之比为2比1，这个过程可以不断地进行下去，他说“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？”[3]无限进行分割的结果最后得到一个“至细”“无形”的东西，它刘徽认为可以舍弃不要了!

瓦格纳认为刘徽实际上使用了极限方法，但在观念上还遇到很大困难[4]．不知是不是瓦氏误解了反问句的意思，其实这反问是正面的肯定．我们认为在刘徽的观念里把分割到最后得到的“至细”“无形”的东西弃而不取不存在什么困难．这不仅因为刘徽在任何地方都没有表现出他对自己的处理有什么疑虑，而且这还可以从他的思想渊源上得到解释．

赵爽与刘徽

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。

赵爽字君卿，没有什么史料可以说明赵爽的生卒年代．可能是东汉末至三国(吴)时代(第三世纪初)的人，他研究过张衡的天文数学著作和刘洪的《乾象历》，也提到过《九章算术》，尤其是他深入研究了《周髀算经》为此写了序言，并作了详细注释．

赵爽承认数学起源于社会实践，接受了前人关于“月不发光”说的正确结论．他认为人与天体的距离虽然很远，不能直接测量，但可以用仪器间接地测量．

赵爽在数学方面的成就，主要是在《周髀算经》注的附录中撰写了《勾股圆方图》说一段文字，全文虽然只有短短的五百三十余字附图六张，但简练地、严密地特别是在我国第一次明确地给出了勾股定理以及关于勾股弦的恒等式的理论证明，并且对二次方程解法提供了新的意见，这是我国数学史上有典籍可以稽考的很有价值的文献之一．传本《周髀算经》中的“勾股圆方图”说有很多文字上的差错，赵爽的六张附图也早已失传．现在的附图是根据原文补绘的，因此附图不一定能与原意完全符合．现在根据钱宝琮校点的注文及补绘的图形并参照传本附图及校绘诸图，将《勾股圆方图》说的主要内容介绍如下：

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2=c2化简后便可得：a2+b2=c2亦即：c=（a2+b2）(1/2)赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

《中国数学家刘徽的故事》

小朋友们，今天我要给你们讲一个很厉害的人的故事，他叫刘徽。

刘徽呀，是咱们中国古代特别了不起的数学家。

他可喜欢研究数学问题啦，天天都在想怎么能把数学变得更简单、更有趣。

有一次，刘徽看到农民伯伯们在分土地，大家都不知道怎么分才能公平。刘徽就开始动脑筋，想了好多办法，最后找到了一种很好的分地方法，让大家都特别满意。

还有呢，刘徽为了算出圆的面积，他就不停地做实验。他把圆切成好多好多小块，然后再重新拼起来，就像咱们玩拼图一样。经过很多很多次的尝试，他终于找到了计算圆面积的好办法。

刘徽的这些发现，让后来的人们学习数学变得容易多啦。

小朋友们，你们说刘徽是不是很聪明呀？

《中国数学家刘徽的故事》

小朋友们，咱们来讲刘徽的故事。

刘徽是个很爱思考的人。

他总是想着怎么解决数学难题。

有一回，他看到做木工的叔叔在量木头，怎么也量不准。

刘徽就帮忙想办法，最后找到了准确测量的方法。

木工叔叔可高兴啦。

刘徽还对计算体积感兴趣。

他把各种形状的东西拿来研究。

比如说，一个大缸能装多少水，他都能算出来。

小朋友，刘徽是不是很厉害？

《中国数学家刘徽的故事》

小朋友，今天讲刘徽的故事。

刘徽呀，是个数学天才。

他看到什么都能想到数学问题。

有一次，他去买东西。

老板算错了账，刘徽一下就指出来了。

老板都佩服他。

刘徽为了弄清楚数学道理，经常不睡觉。

他一直努力，才有了那么多的数学发现。

小朋友们，要向刘徽学习哟！