八年级数学上册1332等边三角形教案(新版)新人教版

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等边三角形

教学目标

（一）教学知识点 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．

（二）能力训练要求

1 ．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发 展抽象思维．

2 ．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎 推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

（三）情感与价值观要求

1 ．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2 ．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点

等边三角形判定定理的发现与证明．

教学难点

1 ．等边三角形判定定理的发现与证明．

2 ．引导学生全面、周到地思考问题．

教学方法

探索发现法．

教具准备 多媒体课件，投影仪．

教学过程

I•提出问题，创设情境

[ 师] 我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三

角形中有一种特殊的等腰三角形一一三条边都相等的三角形，叫等边三角形•回答下面的 三个问题.

（演示课件）

1 •把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？ 2

2 •一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

3 •你认为有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形吗？ ？你能证明你的结论吗？

把你的证明思路与同伴交流.

（教师应给学生自主探索、思考的时间）

［生甲］由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定 理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于 60°.

［生乙］等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就 是等边三角形了.

［生丙］等边三角形的三个内角都相等， 且分别都等于60 ° ,我认为等腰三角形的三个

内角都等于60°,也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了.

（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论， ？教

师可让同学代表发表自己的看法）

［生丁 ］我不同意这个同学的看法， ？因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角

形.根据等角对等边，三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等， 但这一问题中“已

知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形” ，？我觉得他给的条件太多，浪费！

［师］给三个角都是60°,这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？ ？下面

同学们可以在小组内交流自己的看法.

n.导入新课

探索等腰三角形成等边三角形的条件.

［生］如果等腰三角形的顶角是 60°,那么这个三角形是等边三角形.

［师］你能给大家陈述一下理由吗？

［生］根据三角形的内角和定理， 顶角是60? °,?等腰三角形的两个底角的和就是 180°

-60 ° =120°,再根据等腰三角形两个底角是相等的， ？所以每个底角分别是 120。十

2=60 °,则三个内角分别相等，根据等角对等边,?则此时等腰三角形的三条边是相等的, 3

即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形.

［生］等腰三角形的底角是 60°,那么这个三角形也是等边三角形， 同样根据三角形内

角和定理和等角对等边、等边对等角的性质.

［师］从同学们自主探索和讨论的结果可以发现： ？在等腰三角形中，？不论底角是60 ° ,

还是顶角是60°,那么这个等腰三角形都是等边三角形. ？你能用更简洁的语言描述这个

结论吗？

［生］有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形.

（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点， 难点是意识到分别讨论 60 °的角是

底角和顶角两种情况•这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程， 引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）

［师］你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？

［生］我发现我的证明过程没有意识到“有一个 「角是60°”，在等腰三角形中有两种情

况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角.也就是说我们思考问题要全面、周到.

［师］我们来看有多少同学意识到分别讨论 60°的角是底角和顶角的情况， ？我们鼓掌

表示对他们的鼓励.

今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理； 有一个角等于60°的等腰三

角形是等边三角形， 我们在证明这个定理的过程中， 还得出了

三角形为等边三角形的条件，是什么呢？

［生］三个角都相等的三角形是等边三角形.

［师］下面就请同学们来证明这个结论.

（投影仪演示学生证明过程）

已知：如图，在△ ABC中，/ A=Z B=Z C.

求证：△ ABC是等边三角形.

证明:J/ A=Z B,

••• BC=AC（等角对等边）.

又•••/ A=/ C, 4

••• BC=AC（等角对等边）

••• AB=BC=AC即厶ABC是等边三角形.

［师］这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得 至U.

（演示课件）

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°;

三个角都相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

［师］有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理.

（演示课件）

［ 例4］如图，课外兴趣小组在一次测量活动中， 测得/ APB=6C° ,

AP=BP=200m ?他们便得出一个结论：A B之间距离不少于 200m 他们的结论对吗？

分析：我们从该问题中抽象出厶 APB由已知条件/ APB=60且 AP=BP ?由本节课探究结论知△ APB为等边三角形.

解：在△ APB 中，AP=BP / APB=60 ,

1 1

所以/ PAB=Z PBA=— ( 180° - / APB =— (180° -60 ° ) =60

2 2

于是/ PAB=Z PBA=/ APB

从而△ APB为等边三角形，AB的长是200m, ?由此可以得出兴趣小组的结论是正确的.

川•随堂练习

（一）课本P54练习1、2.

1 .等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？

答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或

是三条边上的中线或三条边上的高线） .

2.如图，等边三角形 ABC中，AD是BC上的高，/ BDE2 CDF=60 , ?图中有哪些与

BD相等的线段？B C

答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF

（二）补充练习

如图，△ ABC是等边三角形，/ B和/ C的平分线相交于 D, BD CD?勺垂直平分线分

别交BC于E、F,求证：BE=CF

证明：连结 DE DF,贝U BE=DE DF=CF

由厶ABC是等边三角形， BD平分/ ABC 得/ 1=30 °，故/ 2=30°,从而/ DEF=60

同理/ DFE=60°,

故厶DEF是等边三角形.

DE=DF ,

因而BE=CF

W.课时小结

这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件， ？并对这个结论

的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法•这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的

学习中起着非常重要的作用. 6

V.课后作业

（一）课本 P56— 5、6、7、10 题.

（二）预习 P55〜P56.

活动与探究

探究：如图，在等边三角形 ABC的边AB AC上分别截取 AD=AE △ ADE是等边三角形 吗？试说明理由.

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定.

结果：

已知：三角形 ABC为等边三角形. D E为边AB AC上两点，且 AD=AE判断△ ADE? 是否是等边三角形，并说明理由.

解：△ ADE是等边三角形，

•/△ ABC是等边三角形，

:丄 A=60°.

又••• AD=AE

•••△ ADE是等腰三角形.

•••△ ADE是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）.

板书设计

§ 12. 3. 2等边三角形（一）

一、 探索等边三角形的性质及判定

问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形

二、 等边三角形的性质及判定

三、 应用例题讲解

四、 随堂练习

五、 课时小结

六、 课后作业

备课资料 5 B C 7

等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定.

性质 判定的条件

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等腰三角

形（含等

边三角形） 等边对等角 等角对等边

“三线合一”即等腰三角形顶角平分

线，底边上的中线、咼互相重合 有一角是60。的等腰三角形是等

边三角形

等边三角形的三个角都相等，且每个

角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三

角形

参考例题

1 .已知，如图，房屋的顶角/ BAC=1O0，过屋顶A的立

柱 AD丄BC.屋椽 AB=AC求顶架上/ B/ C/ BAD / CAD

的度数.

解：在△ ABC中,

•••AB=AC（已知），

•••/ B=/ C （等边对等角）.

1

• / B=/。=丄（180° - / BAC =40°（三角形内角和定理）.

2

又••• ADL BC （已知），

• / BAD=/ CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）

• / BAD玄 CAD=50 .

2 .已知：如图，△ ABC是等边三角形，BD是中线，延长 BC到E,使CE=CD

求证：DB=DE

证明：•••△ ABC是等边三角形，且 BD是中线,

• BDL AC, / ACB=60，/ DBC=30 .

又••• CD=CE

1

• / CDE/ E=± / ACB=3C° .