第三节 弧,弦,圆心角,弦心距之间的关系

2014年个性化辅导教案

教 师姓 名 学生姓名 学管师

学 科 数学 年级 上课时间 月 日 ：00--- ：00

课 题 弧，弦，圆心角，弦心距之间的关系

教 学目 标 定理的内容及其证明

教 学

重 难点 定理的内容在证明中都是应用

教

学

过

程 【学习准备】

动手画一圆

1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是 对称图形；

2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个 对称图形。

3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的 不变性。

【解读教材】

1、认识圆心角、弦心距、弧的度数

1） 圆心角的定义： 。

2） 弦心距的定义： 。

3） 弧的度数：

①把顶点在圆心的周角等分成 份时，每一份的圆心角是1°的角。

②因为在同圆中相等的圆心角所对的 相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每

一份这样得到的 叫做1°的弧。

③圆心角的度数和它们对的弧的 相等。

2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理

自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O中，

当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和A'B'，弦AB和''BA，弦心距OM和''MO是否也相等呢？

定理总结：在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对弦的 也相等。

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ABMOAMB3、命题的证明: 如图，已知：∠AOB=∠A′OB′，求证：弧AB和A′B′，弦AB和A′B′，

弦心距OM和OM′相等。

问题：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,是否还有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。

举出反例： 。

归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。（简记：“知一推三”）

【例题精析】

例题一：判断：

1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( )

2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( )

3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( )

4）相等的圆心角所对的弧相等。 ( )

例题二：已知:AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空。

1）如果AB＝CD，那么 ， ， ；

2）如果OE＝OG，那么 ， ， ；

3）如果=，那么 ， ， ；

4）如果∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。

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ABDCOPOBCAD例题三：如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD。

例题三：从⊙O外一点P向⊙O引两条割线PAB、PCD交⊙O于A、B、C、D，且⌒AB=⌒CD，求证：圆心O必在∠BPD的平分线上

例题四：如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？

例题五：已知，如图，⊙O的弦AB、CD相交于P，PO平分∠APD．求证：AB＝CD．

例题六：已知：如图AB、DE是⊙O的直径，AC∥DE，AC交⊙O于C，求证：BE=EC。

EOABDC

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ABDOCMN

例题七：已知：AB是⊙O的直径，M、N分别是AO和BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：AC=BD。

例题八：如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值是多少？

例题九：如图，在⊙O中，，60ACB.求证：AOCBOCAOB

例题十：如图，90AOB，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F.

求证：AE=BF=CD．

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OABCDMN例题十一：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为AB的中点.试问CD与CE是否相等？

说明你的理由.

例题十二：如图，M、N分别为⊙O的弦AB、CD的中点，AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM．

【课堂巩固】

1、判断题：

1）相等的圆心角所对弦相等。 ( )

2）相等的弦所对的弧相等。 ( )

3）两条弧的长度相等,则这两条弧所对应的圆心角相等。 ( )

2、在⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对的圆心角是 度。

3．已知⊙O的半径为2cm，弦AB的长为22cm，则∠AOB＝__________.

4．如图1，OE⊥AB，OF⊥CD，如果AB＝CD，那么_____________________（写出两个正确的结论）

5．如图2，⊙O的两条弦AF、BE的廷长线交于C点，∠ACB的平分线CD过点O，请直接写出图中一对相等的线段： .

6．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）

A．100° B．110° C．120° D．135° OCDNBAM

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图1 图2 图3 图4

5．如图4，在⊙O中，AB＝2CD，那么（ ）

A、CDAB2 B．CDAB2

C、CDAB2 D．CDAB2与的大小无法确定

6．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4∶5，M为AB中点，则∠AOM＝（ ）．

A．50° B．80° C．100° D．160°

7．在⊙O中，AB、CD是弦，OE、OF是AB、CD的弦心距，若AB＜CD，则OE、OF的大小关系是（ ）．

A．OE＜OF B．OE＝OF C．OE＞OF D．无法确定

8．在⊙O中，AB和CD是两条平行弦，且AB、CD所对的圆心角分别是120°、60°，⊙O的半径为6cm，则AB、CD之问的距离是___________．

9．如图，在以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，AB＝2CD，弦AB的弦心距OP＝21CD，小圆和大圆半径分别为r、R，则Rr＝___________．

20．如图，⊙O的半径OP＝10cm，弦AB过OP中点Q，且∠OQB＝45°，则弦AB的弦心距是_____cm，弦AB的长为_________．

21、如图，在□ABCD中，以A为圆心，AB为半径作圆，交AD、BC于F、G，延长BA交⊙A于E，

且∠B＝65°，求的度数．

ADOBEFCABCDOEFOABCDOABCD

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22． 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直且交于P点，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，且

BDAC.试探究四边形EOFP的形状，并说明理由.

23、如图，AB是⊙O的直径，弦CD和AB相交于P，且∠APC＝45°，OQ是弦CD的弦心距，

（1）求证：PC－PD＝2OQ；

（2）若⊙O的半径为5cm，求22PDPC的值．

【课后作业】

1．下列说法中正确的是（ ）．

A．相等的圆心角所对的弧相等 B．等弧所对的圆心角相等

C．相等的弦所对的弦心距相等 D．弦心距相等，则弦相等

2．在半径为5cm为圆中，有一条长为6cm的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）．

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

3．在两个半径不同的圆中，分别有和，若和的度数相等，那么下面结论中正确的是（ ）．

A．＝ B．和所对的两个圆心角相等

C．所对的弦和所对的弦相等 D．和所对的弦的弦心距相等

4．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 OFEPCDBA