27.2(3)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系2

图（1）FOABCD图（2）OAFD图（3）CBOFAD图（4）ODEABCMN27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）

一、教学目标

1.灵活运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决相关的几何证明与计算.

2.通过例题的学习，进一步发展逻辑推理能力.

二、教学重点与难点

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的灵活运用.

三：辅学模式：诱思探究

四、教学过程设计

(一) 温故知新

回顾定理与推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.

（二）应用举例

例4 如图（1）已知：点F为圆O内一点，过点F作圆O的两条弦AB、CD，且∠AFO＝∠DFO

求证：（1）AB＝CD （2）

变式1：将例4中条件结论互换，命题是否为真？即已知点F为圆O内一点，过点F作⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD求证：∠AFO=∠DFO（学生探索发现）

变式2：若点F为⊙O上一点，过F作⊙O的弦FA、FD如图（2）

若∠AFO＝∠DFO,求证：AF＝DF（学生探索发现）

变式3：如图（3）若点F为⊙O外一点，过F作两条射线分别交⊙O于点A、B、C、D，若∠AFO＝∠DFO，求证：AB＝CD（学生探索发现）

已知，如图（4）：⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外例5

角∠DAC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM＝ON求证：（1）AE∥BC (2)AO⊥AE

AC=BD图（5）ODEABCMN

（三）反馈练习

1、 课本P11页，练习27.2（3）

2、将例5条件、结论互换，变式1：把条件OM＝ON与结论AE∥BC互换，命题是否为真？说明理由.

3、 变式2：把条件OM＝ON与结论AO⊥AE互换，命题是否为真？说明理由.图（5）

（四）归纳小结

圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

在同圆或等圆中，中心角与弧度数相等，相等的中心角所对的弧相等，包括弧度数的弧长、对的弦相等。

在同圆或等圆中，有一组量相等时，那么其他三组量也相等。

弦相等，弦所对的两条弧分别相等，所指向的中心角也相等，可以得出两个相等的圆。

弧是圆上任意两点之间的部分，简称弧。连接圆上任意两点的线段称为弦，通过圆心的弦称为直径，直径是圆中最长的弦。圆心角是指在中心为O的圆中，过弧AB两端的半径构成的∠AOB， 称为弧AB所对的圆心角，圆心角等于同一弧所对的圆周角的两倍，定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

月_ _日 星期_ _ 第 周

课 题 27.2(3) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 课 型 新授 教 时 1

教 学

目 标 1.运用圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论解决有关几何问题．

2．通过例题的学习，进一步提高逻辑推理能力，培养发散思维能力，感受“形”变“质”不变的特性．

重 点 灵活运用圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论．

难 点 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论在复杂图形中的运用.

教具准备 多媒体课件

教 学 过 程

教师活动 学生活动

一、复习引入

问1：结合图形说出圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系？

在⊙O中，AB和AB是弦，OCAB于点C，'''OCAB于点C’，

(1) ∠AOB=∠A'OB'；(2) AB=A'B'

(3) ''ABAB；(4) OC=OC’.

二、探索新知

例题4 已知点F在圆O的半径OE上，

AB和CD过点F的弦，∠AFO=∠DFO ，

求证：（1）AB=CD；（2）ACBD．

分析：要证明结论AB=CD，由已知

条件∠AFO=∠DFO想到什么？

证明：（1）过点O分别作OM⊥AB ，ON⊥CD，垂足分别为M、N．则OM、ON分别表示AB和CD的弦心距．

∵∠AFO=∠DFO，

∴ OM=ON．

∴AB=CD．

（2）∵AB=CD，

∴ABCD．

变式：若点F是⊙O的半径OE的延长线上的一点，其它条件不变，结论是否成立？

反馈练习：练习27.2（3）第1、2题

复习圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其定理推论

审题，分析题意，口述分析过程

完成练习

C

C' B' B O A

A'

NMBAFEODC

例题5 已知：⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM＝ON．

圆心角弧弦弦心距之间的关系

在我们探索圆的奇妙世界时，圆心角、弧、弦、弦心距这几个概念就像是打开这个神秘大门的钥匙。它们之间存在着紧密而有趣的关系，让我们一起来揭开它们的神秘面纱。

首先，让我们来认识一下这几个重要的角色。圆心角，顾名思义，是指顶点在圆心的角。想象一下，从圆心出发的两条射线所夹的角，那就是圆心角。弧呢，则是圆上任意两点间的部分。弦则是连接圆上任意两点的线段。而弦心距，是指圆心到弦的距离。

那么，它们之间到底有着怎样的关系呢？

当在同圆或等圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数是相等的。这就好像圆心角是弧的“指挥官”，圆心角有多大，它所对应的弧就有多长。比如说，如果一个圆心角是 60 度，那么它所对的弧的度数也是

60 度。

接下来，我们再看看弦和圆心角的关系。在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对应的弦也相等。这就好比两个“实力相当”的圆心角，它们“指挥”出的弦长度也是一样的。

不仅如此，圆心角还和弦心距有着密切的联系。同样在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弦心距也相等。可以这样理解，当圆心角“发号施令”的力度一样时，圆心到弦的距离也是相同的。 反过来，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等。这就像是弧反过来给圆心角“反馈”，告诉圆心角自己的长度，从而让圆心角也有了对应的“表现”。

当两条弦相等时，它们所对的圆心角以及所对的弧也都相等。弦就像是一个“传递者”，把相等的信息传递给了圆心角和弧。

同样，如果两条弦心距相等，那么对应的弦、对应的圆心角以及对应的弧也都相等。弦心距在这里就像是一个“公正的裁判”，一旦它给出了相等的判定，其他相关的元素也就都平等了。

为了更好地理解这些关系，我们可以通过一些实际的例子来感受。比如说，在一个半径为 5 厘米的圆中，如果有一个圆心角是 90 度，那么它所对的弧的长度就可以通过公式计算得出。又或者已知一条弦的长度是 8 厘米，我们可以通过相关的关系求出对应的圆心角和弧的度数等等。