【试题】高三数学第二次质检试题理
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衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷
理科数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷，分两卷。其中共24题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁UA）∩B等于（ ）
A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
4.已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5.已知椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为，若直线与椭圆交于M点，满足∠MFF2=2∠MF1，则离心率是（ ）
A． B． C． D．
6.已知为原点，点，的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且 ，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列{an}为等差数列，满足=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2015的值为（ ）
A． B．C．2016 D．2013 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
2格式已调整，word版本可编辑. 8.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.若x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.过双曲线右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.的展开式中项的系数为20，则实数 ．
14.从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为，则函数的图象经过第三象限的概率是____．
15.已知变量x，y满足，则的取值范围是 ．
16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是 ．
三.解答题（共8题，共70分）
17.（本题满分12分）
数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn=f（n）=n2+|n﹣2|．
（1）若数列{an}为递加数列，求实数a的取值范围；
（2）当a=时，设数列{bn}满足：bn=2an，记{bn}的前n项和为Tn，求Tn，并求满足不等式Tn＞2015的最小整数n．
18.（本题满分12分）
某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将
成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
3格式已调整，word版本可编辑. （1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；
（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；
（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．
20.（本题满分12分） 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．
21.（本题满分12分）
已知函数()lnafxxx，()()6lngxfxaxx，其中aR.
（1）讨论()fx的单调性；
（2）设函数2()4hxxmx，当2a时，若1(0,1)x，2[1,2]x，总有12()()gxhx成立，求
实数m的取值范围.
选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
4格式已调整，word版本可编辑. （2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．
23.已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围． 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
5格式已调整，word版本可编辑. 衡阳八中2017届高三年级第二次质检参考答案理科数学
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D A A B A A C A D A B
13.4
14.
15.[，]
16.3πa2
17.
（1）n=1，a1=S1=1+2a．n≥2时，Sn=n2+2a（n﹣2），a1+a2=4，解得a2=3﹣2a．
n≥3时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2a（n﹣2）﹣[（n﹣1）2+2a（n﹣3）]=2n﹣1+2a．
∵数列{an}为递增数列，∴a2＞a1，a3＞a2，n≥4时，an＞an﹣1，
联立解得：．
（2）a=时，an=，
∴bn=2an=．
∴n=1时，T1=4．n=2时，T2=4+4=8．
n≥3时，Tn=8+=﹣．
∴Tn=．
T5=1352，
T6=5448，因此满足不等式Tn＞2015的最小值为6．
18.
（1）频率分布直方图见解析，114.5；（2）25；（3）分布列见解析，910.
5.11405.01451.013515.012535.011515.01052.095M.
故的分布列如下 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
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0
1
2
3
依题意)103,3(~B，故1091033E. 19.
（1）求证：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则面BQC的法向量为；
Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，）．
设M（x，y，z），则，，
∵PM=tMC，∴，则，
即，
在平面MBQ中，，，
设平面MBQ的一个法向量，由，
，取z=t，得x=．
∴平面MBQ法向量为． 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
7格式已调整，word版本可编辑. ∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，
解得t=3．
20. （Ⅰ）由题意知，
所以，即a2=4b2，∴a=2b
又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．
由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①
由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴
又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是： ．
（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．
直线ME的方程为．令y=0，得．
将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．② 由①得，代入②整理，得x=1．
所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．
21.
(1) 当0a时，fx在0,上单调递增，当0a时，fx在0,a上单调递减，在,a上单调递增；(2)85ln2,.
（2）当2a时，225lngxxxx，22252xxgxx
