矩阵的计算方法总结

第２０卷第３期　

２００２年６月　青海大学学报（自然科学版）　ｖｏ１．２０　Ｎｏ．３　Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　Ｑｍｇｈ￣Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｊｕｎ．２０ｏ２　

矩阵高次幂的实用计算方法（Ⅱ）　

全生寅　

（青海大学基础部，青海西宁８１００１６）　

摘要：在文［１］的基础上对一般ｎ阶矩阵高次幂Ａ　的计算问题作了进一步探讨，给出了几种　具有普遍意义的实用计算方法。　

关键词：矩阵高次幂；矩阵多项式；最小多项式；Ｊｏｒｄａｎ标准形；矩阵函数　中图分类＂￣：０２４１．６　文献标识码：Ｃ　文章编号：１００６—８９９ｌ６（２００２）ｃｌ３—００５３—０４　

１　用矩阵多项式计算矩阵高次幂　

文［１］中应用Ｃａｙｌｅｙ－－ＨａｍｉＬｔｏｎ定理计算矩阵Ａ的高次幂Ａ　的方法，可推广为计算矩阵多项式　

），其中　）为次数高于Ａ的特征多项式Ｐ（　）次数ｎ的一个多项式，故应用综合除法得：　

＾，；ｐ（＾，ｇ（＾，＋　（＾，　（１）　其中余式ｒ（　）的次数低于Ｐ（　）的次数Ｆｒ　ｏ因（１）式是一个恒等式，故用Ａ代替　，得　

．，　＾）；ｐ（＾）ｇ（＾）＋　（＾）　（２）　由ＣａｒＬｅｙ－－ＨａｍｉＬｔｏｎ定理知Ｐ（＾）＝０，故有　

＾）；　（＾）＝ｂ０　Ｅ＋ｂ１Ａ＋…＋ｂ．一１Ａ　一　（３）　另一方面，由（１）式可知　～）＝ｒ（～）（ｉ＝１，２，…，１）。则当Ａ的特征值　互不相同时，解方程组：　

ｆ　ｂ。＋ｂｌ　１＋ｂ２　＋…＋ｂ．－１　＝　

６。＋ｂｌ　Ａ２＋６２　＋…＋６ｎ一　：一　＝　’　（４）　

ｂ。＋ｂｌ　＋ｂ２　：＋…＋６　＝　）　

即可确定出ｂ。、ｂ　、…、ｂ　，从而求得　）的表达式。　

例１　设矩阵Ａ：（　三），计算Ａ蛐…　

事实上，由ｐ（　）＝Ｉ　ＡＥ—Ａ　Ｉ＿Ｏ易知Ａ的特征值　＝５、一２。又因Ａ为２阶矩阵，故必有　＾）：Ａ　。　。　

＝　（＾）＝ｂ０　Ｅ＋ｂｌＡ，而　＾）＝　（＾）＝ｂ０＋ｂ１　。将　＝５、一２分别代人上式，得　

｛：：二　：：　二。　。　。，解得｛：：　：　１：　。￣　。５一ｌｏ　０２二。ｉ’２　。　。　’　

第２１卷第１期　江西电力职业技术学院学报　Ｖｏ１．２１，Ｎｏ．１　２００８年３月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｎｇｘｉ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ　Ｍａｒ．２００８　

广义逆矩阵的计算方法　刘轩黄　（江西电力职业技术学院，江西南昌３３００３２）　摘要：在两种可供选择的满秩分解方法和Ｇａｕｓｓ消元法的基础上，主要研究了某些广义逆的计算。　关键词：满秩分解；消元；广义逆；分块表示　中图分类号：０１５１，２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—００９７（２００８）Ｏ１一ＯＯ４４一ｏ４　

０引言　熟知，只有非异方阵，即其行或列均线性无关的方阵才　有逆矩阵，而且为了任何目的，其逆矩阵都是唯一的。然而　在应用数学的许多领域中，有必要对奇异矩阵乃至长方矩阵　求出某种类型的逆矩阵。换言之，为了不同的目的，它们有　不同的逆矩阵，即广义逆。而在广义逆的计算中，矩阵的满　秩分解是一有力工具，本文首先提出两种可供选择的实现满　秩分解的简单方法；其次，应用Ｇａｕｓｓ消元法，对多种广义逆　进行了计算，并给出了它们的分块表示；最后，还给出了某些　广义逆的通式的表示。　本文目的仅在于对愿意作数值计算的读者提供一些计　算广义逆的有用的建议，其中所述远非详尽无遗。　１术语与记号　本文将使用与［１］相同的记号，主要有：　ｃｍ　，ｍ×ｎ复距阵类；　，秩为ｒ的ｍ×ｎ复距阵类；　，矩阵　的共轭转置；　，，阶数适当的单位矩阵；　Ｒ（Ａ）＝｛ＡＸ：Ｘ∈ｃ　｝，矩阵　的值域（列空间、像）；　Ⅳ（　）＝｛Ｘ；ＡＸ＝０，Ｘ∈Ｃ　｝，矩阵　的零空间（核）；　ｄｉｍ（·），子空间（·）的维数；　ｏ），实现满秩分解时，第ｋ步所得矩阵，且规定Ａ。＝Ａ；　Ａ＝［ｎ。，ｎ　，…，　］，矩阵按列允块，其中ｎ　表矩阵的第ｉ　列；　ｆ：　‘２’…’　，矩阵Ａ的第　，ｉ　，…，　行与Ａ的第　＼ＪｌＪ２，…　，，　，…　列相交处的元素所作成的ｓ×ｒ矩阵，称为　的一　个子块；　因而，　的第ｉ。，ｉ２，…，ｉ　行所作成的子块记作　（　Ａ的第　，…　列所作成的子块记作Ａ｛、Ｊ１Ｉ’Ｊ，２：’　：：　）·　收稿日期：２０ｏ７—０６－０５　作者简介：刘轩黄（１９３５一），男，江西新余人，教授、　定义１对于Ｐｅｎｒｏｓｅ方程组（１９５５）　ＡＸＡ＝Ａ　（１）　ＸＡＸ：Ｘ　（２）　（　）　＝ＡＸ　（３）　（ＸＡ）‘＝ＸＡ　（４）　我们用　｛　√，…，ｚ｝表方程（　），（　），…，（ｚ）的解集，即以后所　谓的通式，这里｛ｉ，　，…，Ｚ｝　｛１，２，３，４｝，且任一Ａ‘　…，　∈　｛ｉ√，…，Ｚ｝称为　的（ｉ√，…，１）逆。特别称　‘　，　为Ｍｏｏｒｅ　—ｐｅｎｒｏｓｅ逆，且简记之为　。　存在且唯一，若　非异，则　Ａ　＝Ａ～，即普通逆。　若方阵Ｘ∈ｃ　满足Ｐｅｎｒｏｓｅ方程（１）与（２），且满足　ＡＸ＝ＸＡ　（５）　则称　为　的群逆且记之为　，即群逆是与　可交换　的　【ｌ｜２　逆，群逆若存在，则唯一。　２某些广义逆的计算　本节介绍了基于矩阵的满秩分解和Ｇａｕｓｓ消元两种方法　的广义逆的计算。　２．１矩阵的满秩分解　将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一　行满秩的矩阵的积的分解称为满秩分解。在各种广义逆的　直接计算方法中，几乎都要对矩阵进行满秩分解，例如Ｑｕ　分解等等。但当计算某些广义逆时，Ｑｕ分解将带来大量非　必要的计算，因而有必要对满秩分解的方法进行简化，为此，　我们首先用构造性方法证明下述定理。　定理１对任意矩阵Ａ∈ｃ７　（ｒ＞０），总存在着矩阵Ｂ　∈ｃ７　和矩阵ｃ∈ｃ：　，使得Ａ＝ＢＣ成立。　证明：设Ａ＝［ｎ　，　，…，　］，则必有一最大线性无关列　ａｊｌ，　，…，ａｊ　，故令　Ｂ－＝［　，　，…，　，］　ｒ，１　于是有非异矩阵Ｇ，使ＧＢ１＝ｌ　ｌ，亦即有　ｒ，１　Ｂｌ＝Ｇ　Ｉ　Ｉ　（６）　成立，其中０为阶数适当的零矩阵，

计算矩阵最大特征根

矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵理论中的重要内容。在实际应用中，我们常常需要计算矩阵的最大特征根，本文将介绍如何计算矩阵最大特征根。

一、什么是特征值和特征向量

在矩阵理论中，特征值和特征向量是矩阵的重要性质。对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个n维非零向量x，使得Ax=λx，那么λ就是A的一个特征值，x就是对应的特征向量。特征值和特征向量是成对出现的，一个矩阵可以有一个或多个特征值和对应的特征向量。

二、如何计算特征值和特征向量

计算特征值和特征向量是矩阵理论中的重要问题。对于一个n阶方阵A，我们可以通过求解其特征方程来计算其特征值和特征向量。特征方程是一个关于λ的n次多项式，其形式为|A-λI|=0，其中I是n阶单位矩阵。解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值λ1,λ2,…,λn。

对于每个特征值λi，我们可以通过求解线性方程组(A-λiI)x=0来计算其对应的特征向量xi。由于特征向量是非零向量，所以该线性方程组有非零解。解出该线性方程组的解向量即为特征向量xi。

三、如何计算最大特征根

对于一个n阶方阵A，其最大特征根是指其所有特征值中的最大值。计算最大特征根的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法。

1. 幂法

幂法是一种迭代方法，可以用来计算矩阵的最大特征根。幂法的基本思想是，对于一个n阶方阵A和一个n维非零向量x0，通过迭代计算Axk，得到一个向量序列{x0,Ax0,A2x0,…,Akx0,…}。由于矩阵A的最大特征根对应的特征向量是所有特征向量中模长最大的向量，所以当k趋近于无穷大时，Akx0的方向就趋近于最大特征根对应的特征向量，其模长也趋近于最大特征根。因此，我们可以通过迭代计算Axk/||Axk||，得到最大特征根对应的特征向量，并计算出最大特征根。

2. 特征值分解

特征值分解是一种精确计算矩阵特征值和特征向量的方法。对于一个n阶方阵A，如果其有n个线性无关的特征向量，那么可以将其分解为A=QΛQ-1的形式，其中Q是由特征向量组成的矩阵，Λ是由特征值组成的对角矩阵。由于特征值是对角矩阵的对角线元素，所以最大特征根就是Λ的对角线上的最大值。

- 1 - 行列阵的算法

行列阵是数学中的一个重要概念，它是由行和列组成的矩阵，可以用来表示线性方程组、线性变换等。在计算机科学中，行列阵也是一个非常重要的概念，它被广泛应用于图像处理、数据分析、机器学习等领域。本文将介绍行列阵的算法，包括矩阵乘法、矩阵分解等。

一、矩阵乘法

矩阵乘法是行列阵中最基本的运算之一，它可以用来计算两个矩阵的乘积。假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m×n和n×p，那么它们的乘积C的大小为m×p，其中C的每个元素为：

C(i,j) = sum(A(i,k)*B(k,j), k=1...n)

其中，i表示C的行号，j表示C的列号，k表示A和B的公共维度。矩阵乘法可以用以下的伪代码来表示：

for i = 1 to m

for j = 1 to p

C(i,j) = 0

for k = 1 to n

C(i,j) += A(i,k) * B(k,j)

矩阵乘法的时间复杂度为O(mnp)，因此在实际应用中需要尽量减少矩阵乘法的次数。矩阵乘法还有一些特殊形式，如矩阵-向量乘法、向量-矩阵乘法等，它们都可以用矩阵乘法的基本形式来实现。

二、矩阵分解

矩阵分解是将一个矩阵分解成若干个子矩阵的过程，这些子矩阵 - 2 - 可以用来表示矩阵的结构、性质等。常见的矩阵分解方法有QR分解、SVD分解、LU分解等。

1. QR分解

QR分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。其中，Q是一个正交矩阵，它的列向量是正交的，即Q^TQ=I，R是一个上三角矩阵，它的对角线元素为正数。QR分解可以用以下的伪代码来表示：

Q, R = qr(A)

A = Q * R

其中，qr(A)表示对矩阵A进行QR分解，Q和R是分解得到的正交矩阵和上三角矩阵，*表示矩阵乘法。