03-频率特性法——奈氏图和伯德图画法

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第4章第12节频率响应与频率特性及频率特性的图示法

4.1频率响应与频率特性
▪ 频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此有
▪ 一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应为
4.2频率特性的图示法——奈氏图和伯德图
4.2.1奈魁斯特图
▪ 奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在数学上，频率特性可以用直角坐标式表示，；也可以用幅相式（指数式）表示，即
因是系统有储能元件、有惯性，对频率高的输入信号，系统来不及响应。（3）系统的频率特性是系统的固有特性，取决于系统结构和参数。
4.1频率响应与频率特性
4.1.6求取频率特性的解析方法 ▪ 当已知系统的传递函数时，可按下式求取，
即
G(j)G(s) sj
▪ 当从系统原理图开始求取系统的频率特性时，应该先求出系统的传递函数。
4.1频率响应与频率特性
可以看出：随着输入信号频率的变化，输出、输入信号的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生变化。因此，可以利用这一特性，保持输入信号的幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规律，即可达到研究系统性能的目的。
4.1频率响应与频率特性来自4.1频率响应与频率特性
4.1.3频率响应
▪ 稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。
▪ 另外一种表达：当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系统输出响应的稳态分量是与输入同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。
线性系统的频率响应
求上图中输出信号与输入信号的 1、相位差A(ω) 2、幅值比ψ(ω)
两个问题：
1、正弦输入信号可不可以代表所有信号？
2、什么是系统的频率特性？其图形表示是什么样子？
4.1频率响应与频率特性

如何绘制伯德图PPT课件

G( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gn ( j ) G( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G( j) 20 lg G1 ( j) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j)
G( j ) 00
（5-63）（5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)

(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )

20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72）度（）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线（ω 轴），且以每增加十倍频降低20分贝的速度（-20dB/dec ）变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB

如何绘制伯德图.ppt

j?
??
其幅频特性为
1
G ( j? ) ? ?
对数幅频特性是
（5-65）（5-66）
1
20 lg G ( j? ) ? 20 lg ? ? 20 lg ? ?
（5-67）
当 ? ? 0 . 1 时，20 lg G ( j 0 . 1 ) ? ? 20 lg 0 . 1 ? 20 ( dB ) ；当 ? ? 1 时，20 lg G ( j1) ? ? 20 lg 1 ? 0 ( dB ) ；
当 ? ? 10 时，20 lg G ( j10 ) ? ? 20 lg 10 ? ? 20 ( dB ) 。
6
设 ? ' ? 10 ? ，则有
? 20 lg ? ' ? ? 20 lg 10 ? ? ? 20 ? 20 lg ?
可见，其对数幅频特性是一条在
dB L(? )
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线
(5-73) (5-74)
? ? 20 lg 1 ? T 2? 2
当 ? ?? 1 时， 20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? 0 ( dB ) ，
T
当 ? ?? 1 时，20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? ? 20 lg T ? ( dB )
40
（ω 轴），且以每增加十倍频降
20
? 20 dB / dec
低20分贝的速度（ -20dB/dec ）
0
0.01
0.1
1
10
?
变化的直线。
? 20
积分环节的相频特性是
? G ( j ? ) ? ? 90 0

03 频率特性法——奈氏图和伯德图画法

i=1 n-ι Sv∏(TjS+1) j=1
重点掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确定增益 K ，转折频率及相应的时间常数等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图：低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止，经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec；当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复为-20dB/dec ；直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；

如何绘制伯德图

20 lg 10 20(dB)
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线（ ω 轴），且以每增加十倍频降低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ）变化的直线。积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。
0
100
1000

（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64）如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1

1

e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。

04 频率特性法——奈氏判据和伯德图判据

分析开环系统 G(s)H(s)的零点都在S左半平面
一、开环频率特性与闭环频率特性的关系
开环频率特性
G(s)H(s)
闭环频率特性
G( s ) ( s) 1 G( s ) H ( s )
F(s)=1+G(s)H(s)
二、奈斯判据
奈斯判据： s沿着奈氏路径绕一圈（当ω从 -∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆时针包围（-1，j0）点R圈。若 R=P （右半平面极点个数即正实部极点分析系统稳定性。
Im
P0
0
Im
P 1
0
0

R

Re
R

K

0
Re
(a)
(b)
解： (a) N= N+ - N –=（0-1）= -1，P =0，故
Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。 (b) K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，P=1，故 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，故 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，闭环系统不稳定。
R=2N=2(N+-N-)=P

注意：

正穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时从下向上穿越－180°线；负穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时，从上向下穿越－180°线。
例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。解：
P=2
正负穿越数之差（N+-N-）为1

如何绘制伯德图讲诉

0.7
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：

自动控制原理之伯德图

系统开环频率特性的绘制
画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特开环系统对数幅频特性图
01
L
02
5.4 系统开环频率特性的绘制
以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐近线斜率。每当遇到环节的交接频率时，渐近线斜率
增加-20dB/十倍频；每当遇到环节的交接频率时，斜率增加
+20dB/十倍频；每当遇到环节的交接频率时，
通过A点作一条-20NdB/十倍频的直线，其中N为系统的无差阶数，直到第一个交接频率w1。如果w1<1，则低频渐近线的延长线经过A点。
确定交接频率w1、w2、w3……，标在角频率w轴上。
在w＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环放大系数。(在图中标出相应的字母，如A点)
二、绘制系统开环频率特性伯德图的步骤
斜率增加-40dB/十倍频。
系统开环频率特性的绘制
5
⑤ 绘出用渐近线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正。通常只需修正交接频率处以及交接频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB；在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式求出。
5.4 系统开环频率特性的绘制
系统开环对数幅频特性L(ω)通过0分贝线，即时的频率称为穿越频率。穿越频率是开环对数相频特性的一个很重要的参量。
01
02
03
绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。

4.2.14.2频率特性的几何表示法

对数频率特性曲线——伯德图
对数相频特性曲线
1 横坐标为的对数lg 分度 2 纵坐标为()
频率每变化十倍，称为十倍频程，记作dec。
对数频率特性曲线——伯德图
对数幅频特性横坐标表示为：ω 为方便只表示
纵坐标表示为：
L(ω )=20lgA(ω)
L(ω )=20lgA(ω ) dB
40 -20dB/dec
（3）在一张图上绘制低、中、高频段特性，对系40dB/dec
-1
0
1 lgω
0
0.1
1
10 ω
-20 -40
十倍频程 dec
-20dB/dec
φ (ω )
单位为 dB
0
0.1
1
-90
10 ω
对数相频特性 -180
伯德图的优点
（1）对数运算，将串联环节的幅值相乘转化为幅值相加的运算
（2）这种方法建立在渐近线的基础上，简化了幅频特性的绘制过程
频率特性的几何表示法
频率特性法是一种图解分析法，常见的频率特性曲线有两种：
1 幅相频率特性曲线
2 对数频率特性曲线
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
特点：以频率ω为变量，将频率特性的幅频特性A(ω)
和相频特性φ(ω)同时表示在复平面上。
Im
= 0 Re
=0
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
作图方法：取=0和=两点，必要时可在0< < 之间选取
一些特殊点，算出这些点处的幅频值和相频值，然后在幅相平面上做出这些点，并用光滑的曲线连接起来。
Im
= 0 Re
=0
对数频率特性曲线——伯德图

4第四节开环系统频率特性的绘制

KT1 Q ( ) 1 T12 2 当 0时，A( ) K， ( ) 0，P( ) K，Q( ) 0 当时，A( ) 0， ( ) ，P( ) 0，Q ( ) 0
Wednesday, January 23, 2019
Wednesday, January 23, 2019
17
Im
0
n=3 1 n=0 n=1
0
0

Im
n=2
0
n=3

-1
n=2
0
n=4
Re

n=0 n=1
0
Re
0 0

0
n=4
0
结论：假如G(s)乘上因子1/sn，则G(j)的极坐标图顺时针转过 n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在=0的幅值为无穷大。 Wednesday, January 23, 18 2019
K 的极坐标图 n s ( s 1)
K 的极坐标图 n 2 s ( s 1)
⒊ 增加有限零点 K G ( s ) 设 5 s(T1s 1)(T2 s 1)
1 T12 2 1 T22 2 ( ) 90 tg 1T1 tg 1T2
K (T1 T2 ) P( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 ) K (1 T1T2 2 ) Q( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
j ( ) 将开环系统的频率特性写成P( ) jQ( ) 或 A( )e 的形式，根据不同的算出 P( ),Q( )或 A( ), ( )可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。（手工画法）。

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由于奈奎斯特曲线可以确定起点和终点，只是一个粗略图。
2
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
G n阶j系统 b a 0 0 jK jjj m n j 1T b a 1 1 1 1 jj 1 j m n j 1 1 2 T 21 1b a m n 1 1 jj
(3) 过ω＝1 rad/s，20lgK这个点，作斜率等于 -20v dB/dec 的低频段的渐近线。
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率:
10
伯德图画法详解重点掌握
实际作图步骤：
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率:
遇到惯性环节的转折频率，斜率减小20dB/dec 遇到一阶微分环节的转折频率，斜率增加20dB/dec 遇到二阶微分环节的转折频率，斜率增加40dB/dec 遇到振荡环节的转折频率，斜率减小40dB/dec
频特性曲线； 3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。
7
例G已1(s知)=开10环传递函数，试画出系统
解GG：G34((s2s)()=s=)0的=.12开SSS11++环11G对(s数)=频-S(422率S0(0002+特S1+0-性21)0)Ld0曲2B.5\线de1c。-40Ld4BL/d1 ec
L3 10
ω
-20dB/dec
1)将式子标准化解 3）将各环节的曲
90
φ1
φ3
G线(s相)=加1，0S(即(02.1S为S++开11) 环)
0 -90
φ2
φ4
ω
系统的对数频率特 -180
性曲线。
8
伯德图画法详解
通过上例可知：根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
13
L(ω)
[-20] 40db
20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
14
例：已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s) 100(s2) s(s1)(s20)
b m a n
m n
0 0型系统 1 I型系统
开环含有v个积分环节的系统，Nyquist 曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。
2 II型系统
Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为－(n－m)×90°。
3
伯德图画法详解
重点掌握
u 系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联的形式，即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)
试绘制开环对数频率特性曲线。解：典型环节传递函数表示的标准形式
G(s) 10(0.5s1) s(s1)(0.05s1)
其对应的频率特性表达式为
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
k10, v1
15
直接绘制系统开环对数幅频特性的步骤
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
(1) 转折频率为： 1 1 , 2 1 /0 . 5 2 , 3 2 0
(2) 在 1 时： L () 2 0 l g K 2 0 l g 1 0 2 0 ( d B )
30
惯性环节
转折频率：0.5 2 30 低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，12
L(ω)
Hale Waihona Puke [-20] 40db20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
4
伯德图画法详解重点掌握
系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lgA()
20lgG1( j)G2(j)Gn( j)
20lgG1(j) 20lgG2(j) 20lgGn(j)
L1()L2()Ln()
n
Li ()
i1
n
() G 1 (j) G 2 (j) G n (j) ()
u 系统的开环频率特性为
G(j)H()G1(j)G2(j)Gn(j)
n
n
Ai(
j i()
)e i1
A(
)ej()
i1
L ( ) 2 0 l g A ( ) 2 0 l g A 1 ( ) 2 0 l g A 2 ( ) . . . 2 0 l g A n ( )
( ) 1 ( ) 2 ( ) ... n ( )
i 1
5
伯德图画法详解重点掌握
幅频特性 = 组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。相频特性 = 组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。
6
伯德图画法详解重点掌握
一般步骤：
绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：
1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。 2）画出各典型环节的对数幅频和对数相
低频段幅频特性近似表示为： L(ω)≈20lgK-20lgωυ
低频段曲线的斜率
-20υdB/dec
低频段曲线的高度
L(1)=20lgK
9
伯德图画法详解重点掌握
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
(2) 确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上。转折频率1/Ti，若T1>T2>T3>..., 则有ω1<ω2<ω3<...。
11
例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为
G(s)H (s) 300 (s 2) s(s 0.5)(s 30)
解：典型环节传递函数表示的标准形式
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
其对应的频率特性表达式为
G(j)H(j)j(24j0(0.5 1)j(11j ) 1)
二、控制系统开环频率特性
频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能，这样可以简化分析过程。
所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制.
1
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
（1）W=0+的点（2）W=∞的点（3）开环幅相曲线与实轴的交点