现代数学思想概观

现代数学思想概观

目录

第一节 现代数学的涵义

一 "数学"的涵义

二 对现代数学中"现代"的理解

第二节 现代数学与社会发展

一 世界数学中心转移与社会发展

二 现代数学与社会实践

三 现代数学与社会管理

四 数学的教育功能

第三节 现代数学与社会发展

一 科学数学化的发展进程

二 社会科学数学化的必然性

三 社会科学数学化的进展

第四节 现代数学的特点与发展趋势

一 高度的抽象和统一

二 注重公理化体系的建立和结构的分析

三 注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域

四 研究更符合实际的数学模型，解决更复杂的问题

五 与电子计算机的紧密联系

六 数学向一切学科和社会部门渗透和应用

第四节 普及现代数学教育的意义

复习体

参考文献

数学是一门古老而又常新的学科，今天它正表现着异常旺盛的生命力，人们认识世界，改造世界都要运有数学，现代数学是掌握科学技术的钥匙，是现代科学技术发展的有力工具。现代科学技术发展的一个重要趋势就是各门科学的数学化，它广泛渗透到社会生产和社会管理的各个领域，促进社会经济的发展，因而加强数学教育是提高国民素质的首要任务之一。

鉴于以往本科院校数学系都不开设"现代数学"这样一门综合课，致使学生在本科毕业后对现代数学的掌握来说，是"只见树木，不见森林"，甚至对有些现代数学的内容一无所知，本章通过对现代数学内涵的理解，对现代数学特点的分析，以及对现代数学意义的描述，为我们展示的思想概貌，使我们能对蓬勃发展的现代数学有一个概观性了解。

第一节 现代数学的涵义

"现代数学"一词由两部分组成，即"现代"与"数学"，要理解现代数学必须从这两个词入手。

一、"数学"的涵义

这里从数学的研究对象、数学的内容两方面来谈数学的涵义。

（一） 数学的研究对象

恩格斯指出："纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。"因而，数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的学科。

数和形这两个基本概念，是人们通过长期的实践活动，从现实世界中抽象、概括出来的，并且在运用过程中又回到实践。"数"是各种各样事物不同量的共性。最初人们在实践中常把耳朵、眼睛、和"2"联系在一起，我国的"2"与"耳"同音，"5"和"手"是同意词。随着实践的逐步深入，数的领域被逐渐扩大，具体的事物逐渐被舍弃，抽象的数的概念就被概括出来。人们最早运用的数是自然数：１，２，３…，通过这些数才能比较出各种事物的量的大小和量的变化。后来由于单靠自然数描述量的大小还不够，又逐步引入了分数、小数、负数、无理数等形成实数系统，引进虚数而形成复数系统，近世代数中又引进与通常的数很不相同的量而构成各种数学系统，如群、环、域等等，这些代数系统的元素已失去数的本来意义，但相互间却能进行与数相类似的运算，因而可看成是数的扩张。"形"是各种物体存在的躯体与外壳，人们在实践中首先注意到物体的大、小、方、圆等形状，人们常把圆同日、月、车轮联系在一起，随着生产的发展，不断地把形的概念抽象化，就形成了抽象的点、线、面等概念。并在实践中总结出计算物体的长度、面积、体积等的方法，研究图形的质量性质（长度、面积、体积、角度），而形成欧几里德空间的概念；研究图形的透视性质而发展出射影空间的概念；研究图形的连续性质又形成了拓扑空间的概念。空间概念还沿着其它方向扩张着，人们不仅研究通常的二维和三维空间，而且考虑多维乃至无穷维空间；不仅研究平直的欧几里德空间，而且考虑各种弯曲的"非欧空间"，现代数学已将越来越多形形色色的"空间"和它们的几何包括到所研究的对象中来。所以，数学是以数与形的性质、变化和它们的关系作为研究对象，探索它们的有关规律，给出对象性质的系统分析和描述，在这个基础上分析实际问题，给出具体的解答。数与形两个基本概念是整个数学的两个基石，整个数学就是随着这两个概念的提练、演变与发展而不断深化的。在早期数学中，以研究物质世界量、量的关系为主要特征的，属于算术与代数的范畴，以研究现实世界空间形式和形的关系为主要特征的，属于几何学的范畴。１７世纪研究变量把数与形结合起来，产生解析几何与微积分，以后形成了研究形、数关系的分析学。这样几何学、代数学、分析学三大类数学便构成了整个数学的主体与核心。

随着数学的迅速发展，数学的研究对象越来越广，就变得越加抽象，从而越加远离现实，因此就会产生数学对象与客观世界的研究问题。一般说来，大部分数学分支中那些最初最老的问题，都是起源于经验，是由外部世界提出。多维空间的概念，是在研究多个自由度的质点力学的基础上建立的，正如法国大数学家傅立叶所说：对自然的深入研究，是数学发展最丰富的源泉，但是，数学的发展对现实世界还具有相对的独立性，一门数学理论一经建立，便可以不受客观世界影响，仅仅借助于数学内部逻辑推理而独立向前推进。数学中新理论的产生有时只是由于数学内在逻辑的需要，非欧几何与群论的产生就是如此，因此，数学的研究对象，不仅是直接从现实世界抽象出来的数量关系与空间形式，而且包括那些由数学内部逻辑定义的各种可能“数量”关系与“空间”形式。

（二） 数学的基本内容

数学的内容十分丰富，数学已经形成了一门系统庞大，分支众多的基础学科，分支众多就是数学包含了许多具有基本理论、自成系统的学科，就像一棵根深叶茂的大树一样，以粗壮的树干向周围分出许多粗细不等的枝杈。数学有许多分支，迄今，尚没有一个统一的划分原则。1、着眼于与现实生活的联系，数学可分为纯粹数学与应用数学两大类。

纯粹数学是研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身规律，大体分为三类，即研究空间形式的几何类；研究离散系统的代数类；以及研究连续现象的分析类。属于几何类的，如微分几何、拓扑学、射影几何等。微分几何是研究光滑曲线、曲面等，它以数学分析、微分方程为研究工具，在力学和一些工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用。拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下的性质，即拓扑性质，如画在一个橡皮膜上的图形，当橡皮膜受到力变形但不破裂和折迭，有些性质（如曲线的闭合性，两曲线的相交性等）保持不变。属于代数类的，如数论、抽象代数。数论是一门研究整数性质的学科。按研究方法的不同，大致可分为初等数论、代数数论、量、矩阵等，研究更为一般的代数运算的规律性和性质，它讨论群、环、域、格、模等性质和结构，在分析数学、几何、物理、化学等学科中有广泛的应用。属于分析类的，如微分方程、函数论、泛函分析。微分方程即是含有未知函数的导数或偏导数的方程。如未知函数是一元函数的，称为常微方程，未知函数是多元函数时，则称为偏微分方程。函数论是实变函数论与复变函数论的通称。泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论的分支，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。它在数学和物理中有广泛的应用。

应用数学是研究如何从现实问题中抽象出数学规律，以及如何把已知的数学规律应用于现实问题的学问，如数理方程、运筹学、概率论、数理统计、计算数学等。数理方程是用微分方程来描述物理、工程技术及其其它领域中发生的运动过程及现象，例如水面上波的扩散和物理中热的传导。运筹学用数学方法来协助人们找出解决各种问题的最优方案。例如，怎样安排工序可使工程周期最短，怎样剪裁钢板可使材料最省。概率论用数学方法从客观存在的偶然中找出必然规律。例如，根据历史资料分析发生地震的可能性，根据水文记录预测洪水汛期，数理统计用数学方法根据抽样检查判定某种产品的质量，它使人们通过概率来判断某种事物发生的可能程度和正确程度，算出发生错误判断的可能性，使得我们所作的判断即有分寸又有力量，既能保证足够的正确性和工作质量，又能最大限度地节省调查工作的人力、物力和时间，达到多快好省地开展工作的目的。计算数学是在某一客观事物已有确切的数学描述后，研究如何解算出具体结果来，它的主要任务是找出各种新的计算方法，其特点是：（１）近似（２）快速。现实世界中大部分数学问题是不能求得精确的，解同一个问题，好方法与差方法所需时间可相差几百、几千倍。甚至有这样的数学问题，在理论上完善的笨方法去解１００年也算不出来。电子计算机的出现，给计算带数学带来变革性的变化，许多过去做不到的事现在能做到了，例如在几小时内就可算出过去需要几年才能算出的天气预报，甚至在几秒钟算出正在飞行的导弹的偏差，以便立即校准它的轨道。

随着科学技术的迅速发展，数学各门分支的内容也在迅速地发展，数学的许多部门常常和其他学科相互交叉、相互渗透，又形成许多新的分支学科，但有许多新的学科，从它的内容、方法、意义和应用范围来说，已不单单属于数学的范畴了，如控制论、系统论、信息论就是数学和其他学科相互渗透、凝合而成的新兴边缘学科。还有生物学与数学相结合产生了生物数学；地质学用数学理论和方法研究各种地质现象的数量关系，形成了数学地质学；数学和经济学相互渗透，产生了数量经济学；数学与社会学相互渗透，产生了定量社会学；历史学用数学方法研究各种历史问题，产生了计量历史学；数学与语言学相互渗透产生了数学语言学；数学与逻辑学相互结合产生数学逻辑学等许多新兴的交叉学科，它推动各行科学走向定量化与精确化。

生产和科技的发展，总是要求数学帮助解决新发生的问题，一些数学分支结合某些实际问题，又可能促使它向前发展，得出新的理论。但是，正像树干上新长出的嫩牙一样，一开始很难预言这个小嫩牙会不会长成树枝，通过实际应用与检验，有好些小嫩牙茁壮成长，如模糊数学、突变理论、非标准分析等新兴学科。

2、着眼于数学对现实世界中各种现象的处理，数学又可分为确定性数学、随机数学、模糊数学。

现实世界中的现象纷繁复杂，但不外乎如下三类：一、确定性现象；二、随机现象；三、模糊现象。自由落体运动，其规律是确定的，为一种确定性现象，与之相应的数学即为确定性数学，它包含了数学的绝大部分；投掷一枚硬币，出现的结果是确定的，只能是正面或反面，但就每一次投掷的结果究竟是正面还是反面事先却无法预料，这就是随机现象，它是一种"非此即彼"的不确定性，符合概率规律，与之相应的数学即为随机数学，也就是概率论与数理统计；除了上述不确定的随机现象外，现实世界中更多地存在一种"亦此亦彼"的不确定性现象，它无法用通常的二逻辑来表达，这就是模糊现象，如"年轻人"，"秃子"，"大个子"等，与之相应的数学即为模糊数学。

3、着眼于数学的发展过程，数学又可分为数学基础，初等数学，高等数学，现代数学。

二、对现代数学中"现代"的理解

纵观数学的历史发展，可以清楚地划分为初等数学，高等数学，现代数学三个阶段。从古代到１７世纪初为初等数学阶段；从１７世纪初到１９世纪末为高等数学阶段，从１９世纪末开始，数学进入了现代数学阶段。按着数学的研究对象即"数"与"形"来说，在三个阶段中层次是不一样的。在初等数学阶段，"数"是常量，"形"是孤立、简单的几何形体。初等数学分别研究常量间的代数运算和几何形体内部以及相互间的对应关系，形成了代数和几何两大领域。高等数学阶段以笛卡尔建立解析几何（１６３７）为起点，１７世纪８０年代微分学的建立是这一阶段的最显赫的成就和标志。在高等数学阶段，数是变量，形是曲线和曲面，高等数学研究它们之间各种函数和变换关系。这就是数与形紧密联系起来，但大体上还是各成系统的。由于以微积分为源头的分析数学的兴起和发展，数学形成为代数、几何和分析三大领域。 现代数学阶段以康托尔建立集合论（１８７４）为起点。正如数学家陈省身所说："康托尔建立集合论独具新意，高瞻远瞩，为数学立了就厘时微。"２０世纪以后，用公里化体系和结构观点来统观数学，成为现代数学阶段的明显标志。现代数学阶段研究的对象“数”为集合，"形"为各种空间和流形，它们都能用集合和映射的概念统一起来，数与形的界限已难以划分了。综上，我们可以看出，现代数学是指１９世纪末期以后建立起的数学，结合数学的内容可以看出，现代数学的内容极为繁杂，分之众多，以至于现在已经没有一个数学通材，他能全面掌握现代数学的各个领域。