双勾函数的图像与性质PPT课件

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。

中文名对勾函数别称耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数表达式f(x)=ax+b/x (a>0)1定义定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。

名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。

也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

2性质图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线最值当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。

奇偶性、单调性奇偶性双勾函数是奇函数。

单调性令k=，那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。

渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一对勾函数点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

3对勾函数最小值与均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。

我们都知道展开，得，即两边同时加上2ab，整理得，两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b代入上式，得这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。

我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。

那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

4导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。

对勾函数对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。

重点（窍门）：其实对勾函数的一般形式是： 一般地：函数），（00)(>>+=b a xb ax x f 叫做双钩函数。

该函数是奇函数，图象关于原点对称。

位于第一、三象限。

当0>x 时，由基本不等式可得：ab y 2≥。

当且仅当x b ax =,即ab x =时取等号。

故其顶点坐标为），（ab a b 2，图象在），（a b 0上单调递减的，在），（∞+ab 上单调递增。

同理：当0<x 时，由基本不等式可得：ab y 2-≤。

当且仅当x b ax =,即ab x -=时取等号。

故其顶点坐标为），（ab ab 2--， 图象在），（a b -∞-上是单调递增，在），（0ab -上是单调递减的。

答案：最小值：2.5 最大值： 4.25 最小值：6 最大值：10答案：a 大于等于3答案：0<a<=3答案： （1）3 （2） （3）2、练习 （1）已知函数[]2411.(3)y x x =+例求函数在上，的最值。

[]92.(1)15y x x=+例求函数在，上的最小值。

(]92.(2)0,6y x a x a =+例求函数在上的最小值为 求的取值范围。

(]092.(3),a y x x a =+例若函数在上是减函数， 求的取值范围。

()23.1(1) 0x x y x x ++=>例求下列函数的最小值： )2(2) y x R=∈()226(3) 11x x y x x ++=>-()7f x x x =+[]()(1).1,2,.x f x ∈求的值域[]()(2).2,4,.x f x ∈求的最小值[]()(3).7,3,.x f x ∈--求的值域(())(7:(),,,f x x x=++∞-∞-解函数在0递减 在递增[]().1,2(2)()(1)1()8 , 82x f f x f f x ∈∴≤≤⎡⎤≤≤∴⎢⎥⎣⎦1在是减函数 1 即 值域为2[][]().2,4, ()()2,4x f x f f x x =∴∈2分析知的最小值为 在最小值为[][](3).7,3(7)()(3)168()7,38,-3x f f x f f x x ∈--∴-≤≤-⎡⎤≤≤-∴∈---⎢⎥⎣⎦在是增函数 16 即- 值域为 32.已知函数,求f(x)的最小值,并求此时的x 值.()2f x =()[)()2min :,15y 2,220225, 02f x t t x f x x ===∴≥∞∴=+==∴=∴===解原函数化为1令y=t+,(t 2) 此函数在1+递增t此时 即时。

“双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数2y =的最小值．问题分析：将问题采用分离常数法处理得，2y ==，此时如果利用均值不等式，即2y =，等式成立的条件为==显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义我们把形如()kf x x x=+（k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()kf x x x=+（k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x二次函数图像“双勾函数”图像的增大而增大；当2bx a=-时，函数y 有最小值244ac b a - ．②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x的增大而减小．当2bx a=-时，函数y 有最大值244ac b a -．（2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x >时，在x =y 随着x的增大而减小；在x =y 随着x的增大而增大；当x =y有最小值．②当0x <时，在x =y 随着x 的增大而增大；在x =y 随着x的增大而减小．当x =y有最大值-综上知，函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．下面对“双勾函数”的性质作一证明．证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则1212121212121212()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x xx x x x ---=+--==--．以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==，2010kx -=可得到x =因此又找到两个分界点．这样就把()f x 的定义域分为(,-∞，[，，)+∞四个区间，再讨论它的单调性．设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212()()()()0x x x x k k k f x f xx x x x x x ---=+--=>，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减．同理可得，()f x 在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在[上单调递减．故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．性质启发：由函数()(0)kf x x k x=+>的单调性及()f x 在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数()y f x =的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比 （1）“二次函数”的区间最值设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x ba=-2， ①当a >0时，抛物线开口向上．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值． ②当0a <时，抛物线开口向下．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值． 以上，作图可得结论． ①当a >0时，max121()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，；min345()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，．图1 图2 图3 图4 图5②当a <0时，max678()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，；min9101()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，．（2）“双勾函数”的区间最值 设()(0)kf x x k x=+>，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：①当0x >时，其图像为第一象限部分．[]m n ，，则函数必在界点x =函数值；[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =得最大值，较近端点处取得最小值．②当0x <时，其图像为第三象限部分．若[]m n ，，则函数必在界点x =最小值需比较两个端点处的函数值；若[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论． ①当0x >时，图7 图9图10max()(,()max{(),([,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)min()(,()[,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)②当0x <时，max()(,()([,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)min()(,()min{(),()},[,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)二、实践平台例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式近似地表示为230400010x y x =-+．问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；图11 图12图13图14图15图16（2）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．解：（1）由题意可知，每吨平均成本为yS x=万元． 即400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-，因为函数在区间(0,200]上为减函数，在区间[200,)+∞上为增函数．所以当200x =时，函数400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-有最小值为140000(200)301010200S =+-=最小（万元）， 所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元．（2）设年获得总利润为Q 万元，则2211616304000(230)12901010x Q x y x x x =-=-+-=-+， 当230(150,250)x =∈，1290Q =最大，故当年产量为230吨时，可获得最大利润1290万元．评注：本题的关键是用年产量x 吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．例2甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y （元）表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶． 分析：要计算全程的运输成本s bv vabv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本s bv v a bv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，所要解决的问题是求bv va+何时取最小值，显然要对c 的大小进行讨论，讨论的标准也就是c 与ba的大小． 解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，因此全程运输成本为s bv vabv a v s y ⋅+=+⋅=)()(2，又据题意v <0≤c ，故所求函数及其定义域分别为： )(bv vas y +⋅=，],0(c v ∈．（2）设()()aab u f v bv b v v v==+=+，∴u 在],0(b a上是减函数，在)+∞上是增函数． ①若ba≤c ，结合“双勾函数”的性质知， 当bav =时运输成本y 最小． ②若c ba>，函数在],0(c 上单调递减，所以当c v =时，全程运输成本最小． 评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题．例3（2006安徽高考）已知函数()f x 在R 上有定义，对任意实数0a >和任意实数x ，都有()()f ax af x =．（Ⅰ）证明(0)0f =；（Ⅱ）证明0()0.kx x f x hx x ⎧=⎨<⎩，≥，，其中k 和h 均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >，设1()()(0)()g x f x x f x =+>，讨论()g x 在(0)+∞，内的单调性并求最值．分析：承接第（Ⅱ）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题．证明：（Ⅰ）令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =． （Ⅱ）①令x a =，∵0a >，∴0x >，则()()2f x xf x =．假设0x ≥时，()f x kx =(k ∈R ），则()22f x kx =，而()2xf x x kx kx =⋅=，∴()()2f x xf x =，即()f x kx =成立．②令x a =-，∵0a >，∴0x <，()()2f xxf x -=-假设0x <时，()f x hx =()h R ∈，则()22f x hx -=-，而()2xf x x hx hx-=-⋅=-，∴()()2f xxf x -=-，即()f x hx =成立．∴(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立．（Ⅲ）当0x >时，()()()2111()k g x f x kx k x f x kx x=+=+=+， 由“双勾函数”性质知在1(0,]k 上为减函数，在1[,)k+∞上为增函数， 所以当1x k=时，min [()]2g x =． 评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧． 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分． 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为(1)λλ<，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求23[,]34λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?分析：设定变元x ，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解．解：设画面高为x cm ，宽为x λcm ，则24840x λ= 设纸张面积为S cm 2，则有2(16)(10)(1610)160S x x x x λλλ=++=+++,将2210x λ=代入上式得,58500035210(S λλ=+,(0)t t λ=>，则58()500035210()(0)S t t t t=++>，函数S 在5]8上为减函数，在5[,)8+∞上为增函数， 所以当58t =S 取最小值， 此时55(1)88λ=<，高：484088x λ==cm ，宽：588558x λ=⨯=cm ．如果23[,]34λ∈，则)t ∈⊆+∞，所以函数S 在上为增函数，故当t =S 取最小值，此时23λ=． 评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画． 要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算．充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，达到解决问题的目的．在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题，其应用相当广泛，应用效果相当明显．因此也是高考中的热点和难点，倍受命题者的青睐．但只要我们能熟知“双勾函数”的性质，便不难使此类问题获解．。

对号函数的图像与性质1.定义：形如)0(>+=ab xbax y 的函数称为对号函数.又形象称为双勾函数、耐克函数. 2．函数图像}{()3.(b>0)00,by ax a a x x x x x =+≠⎡-∞-⋃+∞⎣∞∞性质函数的性质(只考虑、b 均大于0时的情况）(1)定义域：(2)值域：，(3)奇偶性：奇函数(4)单调性：当>0时，在区间(上为减函数；在区间+)上为增函数当<0时，在区间()上为减函数；在区间(-上为增函数(5)对称性：图像关于原点对称min max x x y x x y ax ====--(6)极值：当>0时，当当<0时,当(7)顶点坐标：、(8)渐近线：x=0和y=4.例题例1 已知函数xx x f 1)(+=，分别求函数在以下定义域上的值域. (1)]4,2(∈x ； (2)]32,1[--∈x ；(3)]4,21[∈x ；(4))21,0()0,2(⋃-∈x答案：(1)517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦；(2)13,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；(3)172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(4)55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭例2 已知函数x ax x x f ++=2)(2在]3,0(是减函数，在),3[+∞是增函数，求a 的值．解：由函数()()0af x x a x =+>3,9a ==． 例3 已知函数xax y +=有如下性质：如果常数a >0，那么该函数在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 上是增函数.(1)如果函数)0(2>+=x xx y b的值域为),6[+∞，求b 的值；(2)研究函数)0(22>+=c x cx y 常数在定义域内的单调性，并说明理由. 解：(1)由函数)0(>+=a xax y 的性质知，当x > 0时，a x =时函数取最小值.2a所以对于函数,222,2b b b x xx y 时取最小值当=+=故,92,622==b b ∴2 9.b log = (2)设c t tct y t x t ≥+=>=由条件知在则)0(,2时为单调增函数，c t ≤<0时为单调递减函数，而2t x =在()+∞,0为单调增函数，在()0,∞-上为单调减函数所以由复合函数单调性知在222200c x x y x x x x ⎧⎧≥≤⎪⎪=+⎨⎨><⎪⎪⎩⎩均单调递增，解得,044<≤-≥x c c x 和即))22.c y x x⎡=++∞⎣的单调增区间为和 当x cx y x c x x c x +=⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧>≤时和0022均单调递减，解得440c x c x ≤≤<和即函数((22,.c y x x=+-∞的单调减区间为和 例4 （06上海高考）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数(1)如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；(2)研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； (3)对函数y ＝x ＋x a和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）[解](1)函数y =x +xb2(x >0)的最小值是2b 2，则2b 2=6, ∴29b log =(2)设0<x 1<x 2, 21y y =－1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+12x x <<时, 21,y y > 函数y =22xcx +在[4c ,+∞)上是增函数； 当120x x <<<4c 时, 21y y <, 函数y =22xcx +在(0,4c ]上是减函数又y =22xcx +是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；(3) 可以把函数推广为y =nn x ax +(常数a >0),其中n 是正整数 当n 是奇数时,y =n n xax +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数； 当n 是偶数时,y =n n xax +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数. 在(－∞,－n a 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；)(x F =n x x )1(2++n x x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nn n n r n r n r n n n n n n n x x C x x C x x C x x C ++++++++---- 因此)(x F 在 [21,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数当x =21或x =2时，)(x F 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当x =1时)(x F 取得最小值12n +作者:谢连清。