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第3讲 函数的值域的常见求法(2)

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高中数学常见题型解法归纳及反馈检测

第 1 页 第2讲 函数的值域（最值）常见求法2

【知识要点】

一、函数值域的定义

函数值的集合叫做函数的值域.

二、值域范围的决定因素

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.

三、常见函数的值域

1、一次函数0ykxbk的值域为R.

2、二次函数20yaxbxca，当0a时的值域为24,4acba，

0a时的值域为24,4acba.

3、反比例函数0kykx的值域为0yRy.

4、指数函数01xyaaa且的值域为0yy.

5、对数函数log01ayxaa且的值域为R.

6、幂函数3yx的值域为R，幂函数12yxx的值域为[0,).

7、正弦函数sinyx、余弦函数cosyx的值域为1,1，正切函数tanyx的值域为R.

四、求函数的值域常用的方法

求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式

法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.

五、函数的值域一定要用集合或区间来表示 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测

第 2 页 六、函数值域与最值的联系

函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.

【方法讲评】

方法6 判别式法

使用

情景 形如22dxexfyaxbxc的函数.

解题

步骤 一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.

【例1】求函数3274222xxxxy的值域.

【反馈检测1】求函数22221xxyxx的值域.

方法7 基本不等式法

使用

情景 一般变量是正数，变量的和或积是定值.

解题

步骤 一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，

从而得到函数的值域.

【例2】已知52x，求函数245()24xxfxx 的最小值.

【例3】已知(0,)，求函数sin(1cos)2y的最大值.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测

第 3 页 【反馈检测2】已知0x，0y，且291yx，则yx的最小值为___________.

【反馈检测3】已知αR，函数aaxxxf|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，

则a的取值范围是___________．

方法8 单调性法

使用

情景 函数的单调性容易判断.

解题

步骤 先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.

【例4】求函数212()log(35)(02)fxxxx的值域.

【例5】求函数532log1(210)xyxx的值域.

【反馈检测4】求函数1413()3yxxx的值域.

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第 4 页 方法9 数形结合法

使用

情景 函数有明显的几何意义.

解题

步骤 先找到“数”对应的“形”，再利用数形结合分析解答.

【例6】求函数14yxx的值域.

【例7】 如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值.

【例8】求函数xxycos2sin3的值域.

【例9】设()fx是R上的偶函数，对任意xR，都有(2)(2),fxfx且当[2,0]x时，1()()1,(2,6]2xfx若在区间内关于x的方程()log(2)0(1)afxxa恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）

A．（1，2） B．(2,)

C．3(1,4) D．3(4,2)

【例10】点P为抛物线：24yx上一动点，定点(2,45)A，则||PA与P到y轴的距离之和的最小值为（ ）

A.9 B.10 C.8 D.5 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测

第 5 页 【例11】已知x，y满足约束条件1343530xxyxy

(1)求目标函数2zxy的最大值和最小值；

(2)若目标函数zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；

(3)求22zxy的取值范围．

【反馈检测5】若点A的坐标为（3，2），F为抛物线22yx的焦点，点P是抛物线上的一动点，则||||PAPF取得最小值时，点P的坐标是 .

【例12】圆锥的底面直径2AB，母线长3VA，点C在母线VB上，且1VC，

有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）

A．13 B．7

C．433 D．332

【反馈检测6】如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为______．

A V

C

B

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第 6 页 方法10 导数法

使用

情景 函数的结构比较复杂，利用导数可以方便地求出函数的单调性.

解题

步骤 先利用导数求出函数的单调性，再根据函数的单调性得到函数的值域.

【例12】已知函数()lnfxxx，2()(3)()xgxxaxeaR

（1）当5a时，求函数()ygx在1x处的切线方程；

（2）求()fx在区间[,2]tt(0)t上的最小值．

【例13】两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数；

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由.

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人教版八年级下册19.2.2 第3课时 用待定系数法求一次函数解析式教案设计

人教版八年级下册19.2.2 第3课时 用待定系数法求一次函数解析式教案设计

第3课时 用待定系数法求一次函数解析式

1．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点)

2．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)

一、情境导入

已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．

一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？

二、合作探究

探究点：用待定系数法求一次函数解析式

【类型一】

已知两点确定一次函数解析式

已知一次函数图象经过点A(3，5)和点B(－4，－9)．

(1)求此一次函数的解析式；

(2)若点C(m，2)是该函数图象上一点，求C点坐标．

解析：(1)将点A(3，5)和点B(－4，－9)分别代入一次函数y＝kx＋b(k≠0)，列出关于k、b的二元一次方程组，通过解方程组求得k、b的值；(2)将点C的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m的值．

解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，则5＝3k＋b，－9＝－4k＋b，∴k＝2，b＝－1，∴一次函数的解析式为y＝2x－1；

(2)∵点C(m，2)在y＝2x－1上，∴2＝2m－1，∴m＝32，∴点C的坐标为(32，2)．

方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．

【类型二】 由函数图象确定一次函数解析式

如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．

解析：先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．

解：∵OA＝OB，A点的坐标为(2，0)，∴点B的坐标为(0，－2)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则2k＋b＝0，b＝－2，解得k＝1，b＝－2，∴一次函数的解析式为y＝x－2.

人教版八年级数学下册19.2.2第3课时用待定系数法求一次函数解析式同步练习题及答案.doc

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19.2.2 一次函数

第3课时 用待定系数法求一次函数解析式

一．选择题（每小题6分）

1.直线y=4x+b经过点（2,1），则b的值为（ ）

A．1 B.5 C.-5 D.-7

2．一次函数的图象经过点A（-2，-1），且与直线y=2x-3平行，•则此函数的解析式为（ ）

A．y=x+1 B.y=2x+3

C．y=2x-1 D．y=-2x-5

3．已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=2，且它的图象与y•轴交点的纵坐标是3，则此函数的解析式为（ ）

A．y=x+3 B．y=2x+3

C．y=-x+3 D．不能确定

4. 将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线解析式为（ ）

A .y=2x-2 B. y=2x+2

C. y=2（x-2） D. y=2（x+2）

二．填空题（每题6分）

5．已知一次函数的图象经过点A（1，4）、B（4，2），•则这个一次函数的解析式为___________．

6．如图1，该直线是某个一次函数的图象，•则此函数的解析式为_________．

(1) (2)

7．已知y-2与x成正比例，且x=2时，y=4，则y与x的函数关系式是_________；当y=3时，x=__________．

8．若一次函数y=bx+2的图象经过点A（-1，1），则b=__________．

9．如图2，线段AB的解析式为____________．

10.如果点Ａ（２，－３），Ｂ（４，３）Ｃ（５，ｍ）在同一条直线上，则ｍ＝__________．

三．问答题（每题１０分）

１１．已知直线经过点（１，３）和点（１２，９），求该直线的解析式。

2

一次函数19.2.2一次函数第3课时用待定系数法求一次函数解析式教案

一次函数19.2.2一次函数第3课时用待定系数法求一次函数解析式教案

第3课时 用待定系数法求一次函数解析式

1．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点)

2．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)

一、情境导入

已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．

一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？

二、合作探究

探究点：用待定系数法求一次函数解析式

【类型一】

已知两点确定一次函数解析式

已知一次函数图象经过点A(3，5)和点B(－4，－9)．

(1)求此一次函数的解析式；

(2)若点C(m，2)是该函数图象上一点，求C点坐标．

解析：(1)将点A(3，5)和点B(－4，－9)分别代入一次函数y＝kx＋b(k≠0)，列出关于k、b的二元一次方程组，通过解方程组求得k、b的值；(2)将点C的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m的值．

解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，则5＝3k＋b，－9＝－4k＋b，∴k＝2，b＝－1，∴一次函数的解析式为y＝2x－1；

(2)∵点C(m，2)在y＝2x－1上，∴2＝2m－1，∴m＝32，∴点C的坐标为(32，2)．

方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．

【类型二】

由函数图象确定一次函数解析式

如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．

解析：先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．

解：∵OA＝OB，A点的坐标为(2，0)，∴点B的坐标为(0，－2)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则2k＋b＝0，b＝－2，解得k＝1，b＝－2，∴一次函数的解析式为y＝x－2.

精选2018_2019学年八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数第3课时一次函数解析式的求法

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1．根据下表中一次函数的自变量x与函数值y的对应值，可得p的值为( )

x －2 0 1

y 3 p 0

A.1 B.－1

C．3 D.－3

2．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(1，－1)和点B(－1,3)，求这个一次函数的解析式．

3．[2018·上海]一辆汽车在某次行驶过程中，邮箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)之间是一次函数关系，其部分图象如图19－2－14所示．

(1)求y关于x的函数关系式(不需要写定义域)；

(2)已知当邮箱中的剩余油量为8 L时，该汽车会开始提示加油．在此行驶过程中，行驶了500 km时，司机发现离前方最近的加油站有30 km的路程，在开往加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？

图19－2－14

4．[2018·淮安]如图19－2－15，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2,6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.

(1)求k，b的值； 推荐精品K12资料

推荐精品K12资料 (2)若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD＝13S△BOC，求点D的坐标．

图19－2－15

5．随着互联网时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价规则如图19－2－16(1)所示，若车辆以平均速度v km/h行驶了s km，则打车费用为ps＋60q·sv

元(不足9元按9元计价)．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y(元)与行驶里程x(km)的函数关系也可由图19－2－16(2)表示．

(1)当x≥6时，求y与x的函数关系式；

(2)若p＝1，q＝0.5，求该车行驶的平均速度．

图19－2－16

6．[2018·长春]某种水泥储存罐的容量为25 m3，它有一个输入口和一个输出口．从某一时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥.3 min后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥．又经过2.5 min储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8 m3时，关闭输出口，储存罐内的水泥量y(m3)与时间x(min)之间的部分函数图象如图19－2－17所示． 推荐精品K12资料