2020届高考数学一轮复习讲义 第1章 1.1 集合的概念及运算
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§1.1 集合的概念及运算
最新考纲 考情考向分析
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
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(4)常见数集的记法
集合
自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N＋(或N*) Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B) A⊆B
(或B⊇A)
真子集 如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A AB
(或BA)
集合
相等 如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A＝B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集 对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
概念方法微思考
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．
提示 2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 3 (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × )
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )
题组二 教材改编
2．若集合A＝{x∈N|x≤2 020}，a＝22，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A
C．{a}∈A D．a∉A
答案 D
3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为______．
答案 2
解析 集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点22，22，－22，－22，则A∩B中有两个元素．
题组三 易错自纠
4．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或3 B．0或3
C．1或3 D．1或3或0
答案 B
解析 A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.
5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2
答案 {x|x≤1或x>2}
解析 由已知可得集合A＝{x|1
又因为B＝{x|2
所以(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}．
6．若集合A＝{x∈R|ax2－4x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
答案 0或2
解析 若a＝0，则A＝12，符合题意；
若a≠0，则由题意得Δ＝16－8a＝0，解得a＝2. 4 综上，a的值为0或2.
题型一 集合的含义
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
答案 C
解析 依题意有A＝{－2，－1,0,1,2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1,2,5}，故B中有3个元素．
2．已知集合A＝x x∈Z，且32－x∈Z，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因为32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.
3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
答案 －32
解析 由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－32，
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，故m＝－32.
思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．
题型二 集合间的基本关系
例1 (1)集合M＝x x＝n2＋1，n∈Z，N＝y y＝m＋12，m∈Z，则两集合M，N的关系 5 为( )
A．M∩N＝∅ B．M＝N
C．M⊆N D．N⊆M
答案 D
解析 由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋12(k∈Z)，∴N⊆M，故选D.
(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x
答案 [2 018，＋∞)
解析 由x2－2 019x＋2 018<0，解得1
故A＝{x|1
又B＝{x|x
引申探究
本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，1]
解析 A＝{x|1
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练1 (1)(2018·辽宁实验中学期中)已知集合A＝x∈Z x＋1x－2≤0，则集合A的子集的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
答案 B
解析 由x＋1x－2≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且x≠2，解得－1≤x<2.又x∈Z，可得x＝－1,0,1，∴A＝{－1,0,1}．∴集合A的子集的个数为23＝8. 6 (2)已知集合A＝{x|－1
答案 (－∞，1]
解析 当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m>0时，因为A＝{x|－1
所以在数轴上标出两集合，如图，
所以 m>0，－m≥－1，
所以0
综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{}x|x2－x－2>0，则∁RA等于( )
A．{x|－1
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案 B
解析 ∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
故选B.
(2)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5
A．A∩B＝∅ B．A⊆B
C．B⊆A D．A∪B＝R
答案 D 7 解析 ∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.
命题点2 利用集合的运算求参数
例3 (1)(2018·锦州模拟)已知集合A＝{x|x
A．a<1 B．a≤1 C．a>2 D．a≥2
答案 D
解析 集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1
由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．
可知a≥2.
(2)设集合A＝{－1,0,1}，B＝a－1，a＋1a，A∩B＝{0}，则实数a的值为________．
答案 1
解析 0∈a－1，a＋1a，由a＋1a≠0，则a－1＝0，则实数a的值为1.经检验，当a＝1时满足题意．
(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．
答案 (－∞，－1]∪{1}
解析 因为A∩B＝B，所以B⊆A，
因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，
由根与系数的关系，得
Δ＝4a＋12－4a2－1>0，－2a＋1＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；
②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
