2019年天津市高考数学试卷(理科)-含答案
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第1页 2019年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合{1A，1，2，3，5}，{2B，3，4}，{|13}CxRx„，则()(ACBIU
)
A．{2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy„………则目标函数4zxy的最大值为(
)
A．2 B．3 C．5 D．6
3．（5分）设xR，则“250xx”是“|1|1x”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为( )
A．5 B．8 C．24 D．29
5．（5分）已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l．若l与双曲线22221(0,0)xyabab第2页 的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||(ABOFO为原点），则双曲线的离心率为(
)
A．2 B．3 C．2 D．5
6．（5分）已知5log2a，0.5log0.2b，0.20.5c，则a，b，c的大小关系为( )
A．acb B．abc C．bca D．cab
7．（5分）已知函数()sin()(0fxAxA，0，||)是奇函数，将()yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()gx．若()gx的最小正周期为2，且()24g，则3()(8f )
A．2 B．2 C．2 D．2
8．（5分）已知aR．设函数222,1,(),1xaxaxfxxalnxxg„若关于x的不等式()0fx…在R上恒成立，则a的取值范围为( )
A．[0，1] B．[0，2] C．[0，]e D．[1，]e
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）i是虚数单位，则5||1ii的值为 ．
10．（5分）831(2)8xx的展开式中的常数项为 ．
11．（5分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．
12．（5分）设aR，直线20axy和圆22cos,(12sinxy为参数）相切，则a的值为 ．
13．（5分）设0x，0y，25xy，则(1)(21)xyxy的最小值为 ．
14．（5分）在四边形ABCD中，//ADBC，23AB，5AD，30A，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAEuuuruuurg ．
第3页 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bca，3sin4sincBaC．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求sin(2)6B的值．
16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
第4页 17．（13分）如图，AE平面ABCD，//CFAE，//ADBC，ADAB，1ABAD，2AEBC．
（Ⅰ）求证：//BF平面ADE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长．
18．（13分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||(ONOFO为原点），且OPMN，求直线PB的斜率．
第5页 19．（14分）设{}na是等差数列，{}nb是等比数列．已知14a，16b，2222ba，3324ba．
（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}nc满足11c，11,22,,2,kknkkncbn其中*kN．
()i求数列22{(1)}nnac的通项公式；
()ii求2*1()niiiacnN．
20．（14分）设函数()cosxfxex，()gx为()fx的导函数．
（Ⅰ）求()fx的单调区间；
（Ⅱ）当[4x，]2时，证明()()()02fxgxx…；
（Ⅲ）设nx为函数()()1uxfx在区间(24n，2)2n内的零点，其中nN，证明20022sincosnnenxxx．
第6页 2019年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合{1A，1，2，3，5}，{2B，3，4}，{|13}CxRx„，则()(ACBIU
)
A．{2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}
【分析】根据集合的基本运算即可求ACI，再求()ACBIU；
【解答】解：设集合{1A，1，2，3，5}，{|13}CxRx„，则{1ACI，2}，
{2BQ，3，4}，(){1ACBIU，2}{2，3，4}{1，2，3，4}；
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）设变量x，y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy„………则目标函数4zxy的最大值为(
)
A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件20,20,1,1,xyxyxy„………作出可行域如图：
第7页 联立120xxy，解得(1,1)A，
化目标函数4zxy为4yxz，由图可知，当直线4yxz过A时，z有最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．（5分）设xR，则“250xx”是“|1|1x”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果
【解答】解：250xxQ，05x，
|1|1xQ，02x，
05xQ推不出02x，
0205xx，
05x是02x的必要不充分条件，即250xx是|1|1x的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为( )
A．5 B．8 C．24 D．29 第8页 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：1i，0s；
第一次执行第一个判断语句后，1S，2i，不满足条件；
第二次执行第一个判断语句后，1j，5S，3i，不满足条件；
第三次执行第一个判断语句后，8S，4i，满足退出循环的条件；
故输出S值为8，
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题
5．（5分）已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l．若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||(ABOFO为原点），则双曲线的离心率为(
)
A．2 B．3 C．2 D．5
【分析】推导出(1,0)F，准线l的方程为1x，2||bABa，||1OF，从而2ba，进而225caba，由此能求出双曲线的离心率．
【解答】解：Q抛物线24yx的焦点为F，准线为l．
(1,0)F，准线l的方程为1x，
lQ与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||(ABOFO为原点），
2||bABa，||1OF，24ba，2ba，
225caba，
双曲线的离心率为5cea．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
