一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结

1、一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

2、一元二次方程的解法

（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

①2(0)xaa 解为：xa

②2()(0)xabb 解为：xab

③2()(0)axbcc 解为：axbc

④22()()()axbcxdac 解为：()axbcxd

（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

（3）公式法：一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa

①当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa

② 当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa

③ 当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，并确定出a、b、c

②求出24bac，并判断方程解的情况。

③代公式：21,242bbacxa（要注意符号）

3、一元二次方程的根与系数的关系

法1：一元二次方程20 (0)axbxca的两个根为：

221244,22bbacbbacxxaa

所以：22124422bbacbbacbxxaaa，

22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa 定理：如果一元二次方程20 (0)axbxca定的两个根为12,xx，那么：

1212,bcxxxxaa

法2：如果一元二次方程20 (0)axbxca定的两个根为12,xx；那么

2120()()0axbxcaxxxx 两边同时除于a，展开后可得：

2212120()0bcxxxxxxxxaa 12bxxa；12cxxa

法3：如果一元二次方程20 (0)axbxca定的两个根为12,xx；那么

21122200axbxcaxbxc ①②得：12bxxa（余下略）

常用变形：

222121212()2xxxxxx， 12121211xxxxxx， 22121212()()4xxxxxx，

2121212||()4xxxxxx， 2212121212()xxxxxxxx，

22111212121222212()4xxxxxxxxxxxxxx 等

练习：

【练习1】若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2212xx； (2)

1211xx； (3) 12(5)(5)xx； (4) 12||xx．

【练习2】已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．

(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,xx满足12||xx．

【练习3】已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．

(1) 是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，

请您说明理由．

(2) 求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．

4、应用题

（1）平均增长率的问题：(1)naxb 其中：a为基数，x为增长率，n表示连续增长的次数， ① ② b表示增长后的数量。 （2）面积问题：注意平移思想的使用

5、换元法 例：222()5()60xxxx

解：令2yxx 则原方程可化为：2560yy 解得：12y 23y

①当22xx时，求得：121,2xx

②当23xx时，求得：3,41132x（原方程共有4个解） 练习：221211xxxx

一元二次方程的解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：mxmmx,02

※※对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法

典型例题：

例1、解方程：;08212x 216252x=0; ;09132x

例2、解关于x的方程：02bax

例3、若2221619xx，则x的值为 。

针对练习：下列方程无解的是（ ）

A.12322xx B.022x C.xx132 D.092x

类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax ，

0222aaxx

典型例题：

例1、3532xxx的根为（ ）

A 25x B 3x C 3,2521xx

D

52x

例2、若044342yxyx，则4x+y的值为 。

例3、方程062xx的解为（ ） A.2321，xx B.2321，xx C.3321，xx D.2221，xx

例4、解方程： 04321322xx

例5、已知023222yxyx,则yxyx的值为 。

类型三、配方法002acbxax222442aacbabx

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。

典型例题：

例1、试用配方法说明322xx的值恒大于0。

例2、已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。

例3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。

例4、分解因式：31242xx

类型四、公式法

⑴条件：04,02acba且

⑵公式： aacbbx242,04,02acba且

典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴.6132x ⑵.863xx ⑶0142xx

⑷01432xx ⑸5211313xxxx

说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式

法；一般不选择配方法。

说明：①对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成cbxax2=))((21xxxxa.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、 “降次思想”的应用

⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

典型例题：

例1、已知0232xx，求代数式11123xxx的值。 例2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。

例3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。

例4、用两种不同的方法解方程组

)2(.065)1(,6222yxyxyx

考点四、根的判别式acb42

根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

典型例题：

例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是( )

A.10且mm B.0m C.1m D.1m

例3、已知关于x的方程0222kxkx

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.

例5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

考点五、应用解答题

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题

典型例题：

1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放

市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少31，第三年比第二

年减少21，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资

金全部收回，还要盈利31，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结

果精确到0.1，61.313）

3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

4、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的