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三角形中位线定理的应用

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三角形中位线定理的应用

三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．

一、证明问题

1、证明角相等关系

例1、如图、四边ABCD中，AB=CD，M、N分别为AD、BC的中点，EF⊥MN交AB于E，交CD于F，求证：∠AEF=∠DFE

分析：欲证：∠AEF=∠DFE．由MN⊥EF想到延长BA，CD与MN的延长线交于P、Q只需证明∠EPN=∠Q，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD，取BD的中点G，则有 12GMAB ∥，12GNCD ∥，由于AB=CD，进而有GM=GN，∠GMN=∠GNM然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论．

证明：延长BA，CD分别与NM的延长线交于P、Q连结BD，

取BD的中点G，连结GM、GN．∵G、M分别为△ABD的边BD、AD的中点∴12GMAB ∥．同理可证：12GNAB ∥，又∵AB=CD，∴GM=GN，∴∠GMN=∠GNM，∵GM//AB，GN=CD，∴∠GMN=∠EPN，∠GNM=∠Q，∴∠EPN=∠Q ，又 EF⊥MN，∴∠AEF=∠DFE（等角的余角相等）

说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．

2、证明线段的倍分以及相等关系

例2.如图，已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、F分别是AB、CD的中点，连线EF，交BD于M点．求证：（1）BM=14BD （2）ME=MF

分析：欲证问题（1）由E、F分别为AB、BC中点想到连结AC，由平行线等分线段定理可证得BM=MO．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD，即BM=41BD．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC，由三角形中位线定理可得EM=12AO，MF=12OC，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．

证明：（1）连结AC，交BD于O点，∵E、F分别为AB、BC中点，∴EF∥AC，

∴BM=MO=12BO（平行线等分线段定理）

又∵四边形ABCD是平行四边形

∴BO=OD=12BD，AO=OC=12AC，

∴BM=1124BOBD，即BM=14BD

（2）∵M是BO的中点，E、F分别是AB、BC中的中点． PQEMGNDBCAF

OMFEDABC word格式-可编辑-感谢下载支持

∴12MEAD，12MFOC，又∵AO＝OC，∴ME＝MF

小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．

3、证明线段平行关系

例3.如图，自△ABC的顶点A，向∠B和∠C的平分线作垂线，重足分别为D、E．求证：DE∥BC

分析：欲证ED//BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明△ABD与△GBD全等易证D是AG中点，同理E为AH的中点，故，ED是△AEG的中位线，当然有DE∥BC．

证明：延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠BDG=900．

在△ABD与△GBD中

12BDBDBDGBDA=== ∠∠∠∠，∴△ABD≌△GBD(ASA)

∴AD=DG，同理可证，AE=GE，∴D，E分别为AG，AH的中点，

∴ED∥BC

小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．

二、比较大小

1、比较线段大小

例4.如图，M、N是四边形ABCD的边 BC、AD的中点，且AB与CD不平行．求证：MN＜12(AB＋CD).

分析：欲证MN＜12(AB＋CD)，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M、N分别为BC、AD中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD，并取BD中点P，连结NP、MP这时分别为△DAB、△DCB的中位线,这时三条线段NP、MP、MN都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．

证明：连结BD并取BD中点P，连结NP，MP.

∵N为AD中点，P为BD中点.

∴NP为△DAB的中位线，∴NP＝12AB，同理可得MP＝12CD．∵AB与CD不平行，∴P点不在MN上．在△PMN中，由于两边之和大于第三边，∴MN＜PM+PN＝12(AB+CD)

小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．

2、比较角的大小

例5、如图：AD是△ABC的中线，如果AB>AC，那么∠BAD<∠CAD．

分析：因为D为BC中点联想到，过点D作中位线DE，因为DE∥AB即△ABC得到∠1=∠3，由AB>AC, 有12AB＞12AC，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD<∠CAD

证明：过点D作DE∥AB交AC于E，∴DE∥AB 且 DE =12 AB，E为AC中点．∴∠1=∠3，∵AB>AC，∴12AB>12AC，即在△AED中，DE>AE，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD<∠CAD 21EHGDBCA

PMNADCB

231EDBCA word格式-可编辑-感谢下载支持

小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理

这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D作DE∥AB就可解决求证问题．

三、求值问题

例6. 如图，正方形ABCD两对角线相交于点E，∠CAB的平分线交BE于G，交BC于F，若GE＝24 求FC的长．

分析：求FC的长，因为E为对角线交点，就是AC中点所以作辅助线PE∥BC就有PE∥FC且有PE=21FC所以只要能求出PE的长即可，而PE的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF为∠BAC的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE=GE=12FC,这样问题就解决了．

解：过点E，作EP∥BC，交AF于点P，则P为AF中点，

∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP＝EG，∵PE是△AFC的中位线，∴PE＝12FC=EG，即FC=2EG=2PE=2×24=48

小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．

总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．

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三角形中位线定理的证明及其应用

三角形中位线定理的证明及其应用

三角形中位线定理是初中几何的中重要定理之一，它的应用广泛而　

灵活．本文先介绍两种新颖简捷的证法，再以部分中考题和竞赛题为例，　

说明这一定理在证明中的应用，供初中师生教学与学参考．　

一、三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三条边，并且等于第　

三条边的一半．　

已知：ＡＡＢＣ中，Ｅ、盼别是４曰、ＡＣ的中点．　

求证：ＥＦ／／ＢＣ＿￣ＥＦ＝　ｃ．　２　证明一：　

．．．Ａ　：　Ｅｊ　墨：　，　４：　，ＡＦ＝ＣＦ￣　：　，　Ａ　２　Ｃ　２　

．・．ＡＡＥＦ￣ＡＡＢＣ　ＥＦ＝　＝　＝　ＥＦ／／ＢＣＪｔＥＦ＝Ｉ－－ＢＣＢ　２　２．　ＢＣ　Ａ　

以　Ｉ　Ａ（０，口）　

钳　‘、　＼　＼　ｆ口　‘专．　／　、　

童（ｂ，ｏ’　Ｃ‘ｃ－Ｏ）

　证明二：’诜４（ｏ，　，日（６，０），ｃ（ｃ，ｏ）．贝ｌＪＥ（告，号），畸，号）．　

・・。直线ＥＦ的方程为），＝号，　

显然　轴，ＰｄＪＥＦ／／ＢＣ．　

・．‘ＢＣ＝ｃ一６，ＥＦ＝Ｉ（ｃ一６），　

．．．ＥＦ＝ＩＢｃ．　２　

二、三角形中位线定理的应用　

１．　正明两角相等　

例ｌ如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、盼别　

是ＢＣ、ＡＤ的中点，延长ＢＡ和ＣＤ分别与ＥＦ的延长线交　

于Ｋ、日，求证：／＿＿ＢＫＥ＝　ＣＨＥ．（２００６年内蒙古呼和浩　

特市初中数学竞赛题）　

分析：由中点想到中位线，又要把结论联系起来，　

既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证　

明的角转移过来，可考虑连ＢＤ、找ＢＤ中点Ｇ，￣，ｉＪＥＧ、ＦＧ分别为ＡＢＣＤ、　

△ＤＢＡ的中位线，于是，得到了解题方法，考虑到结论辅助线不要乱作，同　

样取中点比作平行线好．　

证明：连接ＢＤ并取ＢＤ的中点Ｇ，连ＦＧ、ＧＥ，在△ＤＡＢ和△ＢＣＤ中，　

・．・Ｆ是ＡＤ的中点，Ｅ是ＢＣ的中点，　

．・．ＦＧ／／ＡＢＪ￣ＦＧ＝　Ａ　，ＥＧ／／／ＤＧＪ￣ＥＧ＝二ＤＣ．　＾　，、　

．　ＢＫＥ＝　ＧＦＥ，　ＣＨＥ＝厶ＧＥＦ．　

・．・Ａ　Ｂ＝ＣＤ，．・．ＦＧ＝ＥＧ，

三角形中位线定理

三角形中位线定理

初二（下）数学培优辅导课程

ACBD三角形中位线定理

【核心知识点回顾】

1. 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半。

3.三角形中位线和三角形中线的联系与区别:

(1)相同之处——都和边的中点有关；

(2)不同之处：三角形中位线的两个端点都是边的中点；

三角形中线一端点是三角形的顶点，另一个端点是它对边的中点 。

4.有关结论：

（1）三角形的中位线和第三边上的中线互相平分

（2）三角形三条中位线围成的三角形，其周长等于原三角形周长的一半；

它们的面积等于都原三角形面积的四分之一。

5.由四边形中点连接而得的四边形：

（1）顺次联结四边形各边中点，得四边形是 ；

（2）顺次联结对角线相等的四边形各边中点，得四边形是 ；

（3）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点，得四边形是 ；

（4）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，得四边形是 .

6.重要结论：

（1）在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

∵ 在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°∴ BC=21AB或AB=2BC

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

即：ADBDABCDABDACB2190中点为 ∵ DE 是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE)

BCDEBCDE21,// 初二（下）数学培优辅导课程

【典型考题精讲】

例1如图所示,在△ABC中,AD△BC于点D,E,F,G分别是AC,AB,BC的中点，

求证: FG=DE.

练习1在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,AF△BC,垂足为F,△ADE=30°,DF=3,

求BF的长。

三角形中位线定理的证明与应用

三角形中位线定理的证明与应用

三角形中位线定理的证明与应用

三角形中位线定理是初中数学中的重要定理，也是几何学中的基本概念之一。本文将通过证明与应用，来深入解析三角形中位线定理的原理和意义。

一、三角形中位线定理的证明

三角形中位线定理是指在任意三角形ABC中，连接三个顶点A、B、C处的中点形成的三条线段AD、BE、CF，它们两两平行且长度相等。

为了证明这个定理，我们可以利用向量和线段相等的性质进行推导。

假设三角形ABC的顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），中点分别为D（x4,y4）、E（x5,y5）、F（x6,y6）。可以得到以下向量关系式：

AB = AO + OB = (x2 - x1, y2 - y1) + (x2, y2)

BC = BO + OC = (x3 - x2, y3 - y2) + (x3, y3)

AC = AO + OC = (x3 - x1, y3 - y1) + (x3, y3)

根据中点的定义，可以得到：

D = (A + B) / 2 = (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2

E = (B + C) / 2 = (x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2

F = (A + C) / 2 = (x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2

利用向量的加减法，可以计算得到： AD = D - A = [(x1 + x2) / 2 - x1, (y1 + y2) / 2 - y1]

BE = E - B = [(x2 + x3) / 2 - x2, (y2 + y3) / 2 - y2]

CF = F - C = [(x1 + x3) / 2 - x3, (y1 + y3) / 2 - y3]

将上述结果代入，得到：

AD = [(-x1 + x2) / 2, (-y1 + y2) / 2]

BE = [(-x2 + x3) / 2, (-y2 + y3) / 2]

三角形中位线定理的应用2

三角形中位线定理的应用2

三角形中位线定理的应用

三角形中位线定理是平面几何中十分重要的性质，它说明中位线的位置与第三边平行，长度是第三边的一半，应用它可解许多几何题，如：

1．说明线段的倍分关系

例1 如图1，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F，AF=13AC．试说明EF=14BF．

解：取CF的中点H，联结DH，则DH为△CBF的中位线．

又因为AF=13AC，即F为AH的中点，则EF为△ADH的中位线，故DH＝12BF，EF=13DH，所以EF=14BF．

2．说明两线平行

例2 如图2，自△ABC的顶点A向∠B和∠C的平分线作垂线，D、E为垂足．试说明DE∥BC．

解：延长AE、AD交BC与BC的延长线于N、M．由∠1=∠2，BD⊥AM，可得AD=DM．同理可得AE=EN．故DE为△ANM的中位线．所以DE∥MN，即DE∥BC． 3．说明线段相等

例3 如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别为BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q．试说明AP=AQ．

解：取BC中点F，联结MF与NF．

因为BM=ME，BF=FC．

所以MF∥CE，且MF＝12CE．

同理可得NF∥BD，且NF＝12BD．且又BD=CE，所以MF=NF，故∠3=∠4，又∠1=∠4，∠2=∠3，所以∠1=∠2，故AP=AQ．

4．说明两角相等

例4 如图4，在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM=CN，D、E分别为MN与BC的中点，AP∥DE交BC于P．试说明∠BAP=∠CAP．

解：联结BN并取中点Q，联结DQ与EQ，则DQ∥BM，且DQ＝12BM，EQ∥CN，且EQ＝12CN，又BM＝CN，所以DQ=EQ，故∠1=∠2，因为AB∥DQ，DE∥AP，所以∠1=∠BAP．因为QE∥NC，DE∥AP，所以∠2=∠CAP，所以∠BAP=∠CAP． 由以上几例不难看出，当有中点这一条件时，设法构造三角形中位线，然后利用三角形中位线定理解题，这是一种常用的解题技巧．