2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)理科数学及答案解析

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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）

理科数学

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.已知集合}24|{xxM，}06|{2xxxN，则NM（ ）

A.}34|{xx B.}24|{xx

C. }22|{xx D. }32|{xx

2.设复数z满足1zi，z在复平面内对应的点为(,)xy，则（ ）

A.22(1)1xy B.22(1)1xy

C.22(1)1xy D.22(1)1xy

3.已知2log0.2a，0.22b，0.30.2c，则（ ）

A.abc B.acb

C.cab D.bca

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215（618.0215称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26，则其身高可能是（ ）

A.cm165 B.cm175 C.cm185 D.cm190

5. 函数2sin()cosxxfxxx在[,]的图像大致为（ ）

A. B. C. D.

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）

A.516 B.1132 C.2132 D.1116

7. 已知非零向量,ab满足2ab，且()abb，则a与b的夹角为（ ） A.6 B.3 C.23 D.56

8.右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（

）

A.12AA B.12AA C.112AA D.112AA

9.记nS为等差数列na的前n项和.已知40S，55a，则（ ）

A.25nan B.310nan C.228nSnn D.2122nSnn

10.已知椭圆C的焦点为)0,1(1F，)0,1(2F，过2F的直线与C交于A，B两点.若||2||22BFAF，||||1BFAB，则C的方程为（ ）

A.1222yx B. 12322yx C.13422yx D.14522yx

11. 关于函数()sinsinfxxx有下述四个结论：

①()fx是偶函数 ②()fx在区间(,)2单调递增

③()fx在,有4个零点 ④()fx的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（ ）

A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③

12. 已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，,EF分别是PA，AB的中点，90CEF，则球O的体积为（ ）

A. 86 B.46 C.26 D.6

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.曲线23()xyxxe在点(0,0)处的切线方程为 .

14.记nS为等比数列na的前n项和，若113a，246aa，则5S .

15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的

2

比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是

.

16.已知双曲线C:22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，过1F的直线与C的

两条渐近线分别交于,AB两点.若112,0FAABFBFBuuuruuuruuuruuur，则C的离心率为 .

三、解答题（本大题共5小题，共60分）

17.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc.设22sinsinsinsinsinBCABC.

（1）求A；

（2）若22abc，求sinC.

18.如图，直四棱柱1111ABCDABCD的底面是菱形，14,2,60AAABBAD，

,,EMN分别是11,,BCBBAD的中点.

（1）证明：//MN平面1CDE；

（2）求二面角1AMAN的正弦值.

19.已知抛物线xyC3:2的焦点为F，斜率为23的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

（1）若4||||BFAF，求l的方程；

（2）若PBAP3，求||AB.

20.已知函数()sinln(1)fxxx,()fx为()fx的导函数.证明：

(1)()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；

(2)()fx有且仅有2个零点.

21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,,7)i，其中(1)aPX，(0)bPX，(1)cPX．假设0.5，0.8．

（i）证明：1{}(0,1,2,,7)iippi为等比数列；

（ii）求4p，并根据4p的值解释这种实验方案的合理性．

四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22211()41txtttyt为参数.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110.

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值.

23. 已知,,abc为正数，且满足1abc，证明：

（1）222111abcabc

（2）333()()()24abbcca

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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）

理科数学答案

1.答案：C

解答：

由题意可知,}32|{xxN,又因为}24|{xxM,则}22|{xxNM，故选C.

2.答案：C

解答：

∵复数z在复平面内对应的点为(,)xy，

∴zxyi

∴1xyii

∴22(1)1xy

3.答案：B

解答：

由对数函数的图像可知：2log0.20a；再有指数函数的图像可知：0.221b，0.300.21c，于是可得到：acb.

4.答案：B

解答：

方法一：

设头顶处为点A，咽喉处为点B，脖子下端处为点C，肚脐处为点D，腿根处为点E，足底处为F，tBD，215，

根据题意可知BDAB,故tAB；又tBDABAD)1(，DFAD，故tDF1；

所以身高tDFADh2)1(，将618.0215代入可得th24.4.

根据腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26可得ACAB，EFDF；

即26t，1051t，将618.0215代入可得4240t

所以08.1786.169h，故选B.

方法二：

由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是215（618.0215称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm178，与答案cm175更为接近，故选B.

5.答案：D

解答：

∵2sin()cosxxfxxx2sincosxxxx()fx，

∴()fx为奇函数，排除A，

又22sin4222()02cos22f，排除C，

22sin()01cosf，排除B，故选D.

6.答案：A

解答：

每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C种，所以36620526416CP.

答案：

7.答案B

解答：

设a与b的夹角为，

∵()abb

∴2()cosabbabb=0

∴1cos=2

∴=3.

8.答案：A

解答：

把选项代入模拟运行很容易得出结论

选项A代入运算可得1=12+12+2A，满足条件，

2

选项B代入运算可得1=2+12+2A,不符合条件，

选项C代入运算可得12A,不符合条件，

选项D代入运算可得11+4A,不符合条件.

9.答案：A

解析：

依题意有415146045Sadaad，可得132ad，25nan，24nSnn.

10.答案：B

解答：

由椭圆C的焦点为)0,1(1F，)0,1(2F可知1c，又||2||22BFAF，||||1BFAB，可设mBF||2，则mAF2||2，mABBF3||||1，根据椭圆的定义可知ammBFBF23||||21，得am21，所以aBF21||2，aAF||2，可知),0(bA，根据相似可得)21,23(bB代入椭圆的标准方程12222byax，得32a，2222cab，椭圆C的方程为12322yx.