第四节空间联系模型
空间联系模型用来描述和分析不同地区之间的经济联系，如人口流动量、客
流量、商品销售量及货流量等，也可以用来进行预测。客观存在的经济联系是由相当复杂的多种因素形成的，因此，所有这些空间联系模型都只能具有有限的参
考意义，更准确的研究和分析还需要更多实际经验，还有赖于对实际经济空间联
系的深刻理解。
一、产销联系的运输优化模型
产销联系的运输优化模型是在已知各产地总货物发送量和销地货物应到达总量的情况下，对产销地之间的运量进行规划分配，以使总的运输费用达到最节
省。
该模型是在满足约束条件
∑ｘij＝Ｏi
j
∑ｘij＝Ｄj
i
的情况下,使总的运费Ｚ＝∑∑ｘij·ｃij最小,即minＺ＝∑∑ｘij·ｃ
ij
ijij
式中ｘij为产地i到销地j的运量,ｃij为产地i到销地j的运输费用（或运输
成本,也常用该两地间的运输距离代替），Ｏi为产地i的总发送量，Ｄj为销地j的总到达量，i、j＝1、2……n，Ｚ为总运输费用或总运输成本。在ｃij用运
输距离代替的情况下，Ｚ为总的货物吨公里。
运输优化模型求解后，可得出各地产销平衡的情况下，运费最节省的运量分配方案。该模型的解法目前主要有两种，一种称为解加数法或表上作业法，多为
手工计算，另一种是利用线性规划中的单纯型法，多用计算机处理。运输优化模型的应用因下列原因受到一定的限制：第一，该模型只能用于分析货运，不能用
于客运；第二，该模型只适于单一品种货物的分析；第三，该模型只适用于具体
产销点之间的规划分析，而不适用于较大区域之间的货流研究；第四，模型在取得优解时最多只有2n-1个非零变量，不能反映大量现存的运输联系。
二、引力模型
引力模型是空间联系分析中应用比较广泛的一种模型。它因形式与物理学的
万有引力定律（两物体之间的引力与物体的质量成正比，与物体之间距离的平方成反比）近似而得名。最早的引力模型是用在研究地区间人口的移动问题上，因
为研究者发现任何两个城市之间的人口流动量，似乎都正比于城市人口总数而反
第
19
章
空
间
向
量
97
空间向量
-@>%)
一空间向量的概念
1.空间向量的有关概念及线性运算
(
1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的
量叫作空间向量.
(
2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来
表示.
(
3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量
.
(
4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向
线段的长度叫作向量的模(或长度).
(
5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合
的向量叫作共线向量(或平行向量).
(
6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平
面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作
共面向量.
(
7)空间向量的加法、减法、数乘向量运算的定义、
随
走
随
练
高
中
数
学
必
考
公
式
定
律
与
知
识
梳
理
98 运算法则、运算律等都和平面向量相同.
2.空间向量的有关定理
(
1)共线向量定理:对空间向量
a→,
b→(
b→
≠0→),
a→∥b→
的
充要条件是存在实数k,使
a→=kb→
.
推论:①
对于空间任一点O,点
P
在直线AB
上的
充要条件是存在实数t,使
OP→
=(
1-t)
OA→
+tOB→
或OP→
=xOA→
+yOB→
(其中
x+y=1)
.
②
如果l
为经过已知点A
且平行于已知非零向量a→
的直线,那么对任一点O,点
P
在直线l
上的充要条件
是存在实数t,满足关系式
OP→
=OA→
+ta→,该方程称为直
线方程的向量表达式.
(
2)共面向量定理:如果两个向量
a→,
b→
不共线,则向
量c→
与向量a→,
b→
共面的充要条件是存在唯一的一对实
数x,
y,使
c→=xa→+yb→
.
推论:空间一点P
位于平面ABC
内的充要条件是:
存在有序实数对x,
y,使
CP→
=xCA→
+yCB→
,或对空间
任一定点O,有
OP→
=OC→
+xCA→
+yCB→
,该式称为平面
CAB
的向量表示式.
(
3)空间向量分解定理:如果三个向量
a→,
b→,
c→
不共
面,那么对于空间任意一个向量p→,存在唯一的有序实
数组x,
y,
z,使
p→=xa→+yb→
+zc→.
其中不共面的三个
向量a→,
b→,
c→
叫作空间的一个基底,每一个向量a→,
第4讲 空间向量与距离、探究性问题
[考情分析] 1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上．
考点一 空间距离 核心提炼
(1)点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设AP→＝a，则点P到直线l的距离d＝a2－a·u2.
(2)点到平面的距离
平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝|AP→·n||n|.
考向1 点到直线的距离
例1 (1)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________．
答案 135
解析 如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，
则BP→＝(－3,0,1)，BD→＝(－3,4,0)，
故点P到直线BD的距离d＝|BP→|2－BP→·BD→|BD→|2＝10－952＝135，
所以点P到直线BD的距离为135. (2)(2022·枣庄检测)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则1DGFS△的面积为________．
答案
142
解析
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则D1(0,0,2)，G(0,2,1)，F(1,1,0)，
FD1→＝(－1，－1,2)，FG→＝(－1,1,1)，
∴点D1到直线GF的距离d＝|FD1→|·1－FD1→·FG→
|FD1→|·|FG→|2
＝6×1－26×32＝423.
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