圆的切线,两种题型

中考题中常考的圆的六种解题策略

第一种场景：遇到弦。

轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．

例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F

（1）求证：FC＝FB；

（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．

【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．

【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，

∴FC＝FB．

（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，

OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，

解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．

【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．

第二种场景：遇到直径。

当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。

例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．

（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；

（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；

（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答．

关于圆的角度题型和证切线题型归纳总结：

1、（甘肃省）如图，AB是⊙O的直径，∠C＝30，则

∠ABD＝ （ ）

（A）30 （B）40 （C）50 （D）60

2、（安微省）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB延长线交P．PC＝5，则⊙O的半径为 （ ）

（A）335 （B）635 （C）10（D）5

3、（福州市）如图：PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，有PA＝32，PB＝BC，那么BC的长是（ ）

（A）3 （B）32 （C）3 （D）32

4、（苏州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝160，则∠BCD＝ （ ）

（A）160 （B）100 （C）80 （D）20

5、（扬州市）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15，则

∠BAD的度数为 （ ）

（A）75 （B）72 （C）70 （D）65

8、（温州市）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PC是⊙O的切线，C为切点，PC＝26，PA＝4，则⊙O的半径等于 （ ） （A）1 （B）2 （C）23 （D）26

一、平行证切线

1、（2015•大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：EF与⊙O相切；

（2）若AB=6，AD=42，求EF的长。

2、（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

二、全等证切线

1、（2015•枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；w W w .x K b

证明圆的切线的两种类型

类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”

如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.

求证：DM与⊙O相切.

练习1 (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC.

(1)求BC的长；

(2)求证：PB是⊙O的切线.

练习2 (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.

(1)求AD的长；

(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.

练习3 (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)证明：DE为⊙O的切线；

(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.

类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.

练习4 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.

求证：CD与⊙O相切.

练习5 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3.

（1）求证：AC是⊙D的切线;

（2）求线段AC的长.

圆的有关计算

类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题

练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是______m.(结果用π表示)

练习2 如图所示，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=,∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示)

中考数学热点题型归纳与演练（苏科版）

目录

专题01数与式问题

专题02一次方程（组）的解法与应用

专题03 一元二次方程的解法与应用

专题04 分式方程的含参问题与应用

专题05 不等式（组）的解法与应用问题

专题06 一次函数的图象性质问题

专题07 一次函数的应用问题

专题08 反比例函数及综合问题

专题09 二次函数的图象及性质

专题10 三角形的综合问题

专题11 相似三角形及锐角三角函数问题

专题12 四边形的几何综合问题

专题13 圆的有关与计算问题

专题14 圆的切线有关证明问题

专题15 图形的变换综合问题

专题16 统计概率的图表信息型问题

专题17 数字及图形的规律型问题

专题18 几何变式探究和类比变换综合类问题

专题19 有关几何最值存在型压轴问题

专题20 二次函数与特殊三角形存在型问题

专题21 二次函数与特殊四边形存在型问题

专题22 二次函数与相似结合及存在型问题

专题23 二次函数与动点综合型问题

专题24 二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题

专题14 圆的切线有关证明问题（原题版）

【方法指导】

1. 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r

③直线l和⊙O相离⇔d＞r．

2. 切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

3.切线的判定：

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．