两圆的公切线

两圆相切——过切点作公切线

1、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，直线BD切⊙O1点B，交⊙O2于点C、D，直线DA交⊙O1于E.

(1)求证：∠BAC=∠ABC+∠D;

(2)求证：AB2=AC·AE.

2、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，直线BC切⊙O1于点B，切⊙O2于点C.

求证：△ABC是直角三角形.

3、如图，两圆内切于P点，大圆的弦AB切小圆于C，PC的延长线交大圆于D点，求证：

（1）∠APD=∠BPD；

（2）PA·PB=PC2+AC·CB.

4、如图，已知⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A、B为切点，过点P的直线交⊙O1于点C，交⊙O2于点D，分别延长CA、DB相交于E点。

求证：CE⊥DE.

5、如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P的直线交⊙O1于点A,交⊙O2于点B，AE是⊙O1的直径，BF是⊙O2的直径.

求证：AE∥BF

6、如图，⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB切⊙O1于点C，连接PC交⊙O2于D.

求证：AD=BD

7、如图，已知⊙O1和⊙O2外切于点P，外公切线AB分别切两圆于A、B，交O1O2的延长线于点C，连接AP、BP.求证：

（1）∠APB=90°

（2）PC2=AC·BC.

两个圆的公切线

两个圆的公切线

圆上任意⼀点拥有唯⼀的圆⼼⾓

根据两个圆的位置关系来确定情况

1. 两个圆内含，没有公共点，没有公切线

2. 两圆内切，有⼀个条公切线

3. 两圆完全重合，有⽆数条公切线

4. 两圆相交。有2条公切线

5. 两圆外切，有3条公切线

6. 两圆相离，有4条公切线

1 与 3 什么都不求，情况 2 可以直接求出直线AB的极⾓进⽽转换为圆⼼⾓来求切点，连接切点和圆⼼，旋转90度即可得到切线。

情况 4 有两条外公切线，求出圆⼼距 d 以及|AG| 即可求出 α 的⼤⼩，根据 →

AB 的极⾓进⾏旋转即可求出切点，进⽽得到切线

情况 5 的内切线类似情况2

情况 6 的外公切线与情况4完全⼀样

情况 6 的内切线也是先求出圆⼼⾓ α ，如何求？cosα=Ar+Br

|AB|struct circle{

Point p;

double r;

// 通过圆⼼⾓求圆上某⼀点

Point point(double a){

return Point(p.x + cos(a) * r, c.y + sin(a) * r);

}

}

// a[i] 存放第 i 条公切线与 圆A 的交点

int getTangents(circle A, circle B, Point*a, Point *b){

int cnt = 0;

// 以A为半径更⼤的那个圆进⾏计算

if(A.r < B.r) return getTangents(B, A, b, a);

db d2 = (A.p-B.p).len2(); // 圆⼼距平⽅

db rdiff = A.r - B.r; // 半径差

db rsum = A.r + B.r; //半径和

if(d2 < rdiff * rdiff) return 0; // 情况1，内含,没有公切线

Vector AB = B.p - A.p; // 向量AB，其模对应圆⼼距

db base = atan2(AB.y, AB.x); // 求出向量AB对应的极⾓

两圆的公切线（一）

教学目标：

（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；掌握两圆内公切线长的求法。

（2）培养学生的归纳、总结能力。

（3）通过两圆外，内公切线长的求法向学生渗透“转化”思想。

教学重点：

理解两圆相切长等有关概念，两圆外，内公切线的求法。

教学难点：

两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆。

两圆外，内公切线的求法。

教学活动设计

（一）实际问题（引入）

很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，自行车的飞轮与链条，火车轮子与铁轨，滑轮与铁链，给我们以一条直线和两个圆同时相切的形象。（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）

（二）两圆的公切线概念

1、概念：

教师引导学生自学。给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。（附图内，外公切线P44）

(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。

2、理解概念：

(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系? (1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长。但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点。

(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量。

（三）两圆的位置与公切线条数的关系（构成数形对应，且一一对应）

组织学生操作、观察、概念、概括，培养学生的学习能力。添写教材P45题表．

（四）应用、反思、总结

由P46练习1，2引出两圆外，内公切线长的求法。

31.6 两圆的公切线

淮海中学 王晓莉

一、教学目标：

1、知道两圆的公切线，内、外公切线及公切线长的概念。

2、能讲出两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

3、知道两圆的内、外公切线长相等。

4、能根据条件能求出公切线的长或圆的半径。

5、能积极参与学习活动，对两圆的公切线的有关知识有好奇心和求知欲。

6、通过练习培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

二、重点和难点：

重点：1、两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系。

2、求内、外公切线长的公式。

难点：内外公切线长公式的推导。

三、教学建议：每位学生准备三个硬币（其中有两个一样大）。

四、教学过程：

导入新课

自行车上两个齿轮与链条之间的位置关系，自行车的两个车轮与走过的直线之间

的位置关系？

提问：直线与两圆有什么位置关系？

1.公切线的定义：

1．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

2. 两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

3. 两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。似乎太直接了

2.两圆的位置关系与公切线条数之间的对应关系：

操作练习：用准备好的硬币及尺研究两圆五种位置关系下内外公切线的分布情

况，并把所得结果填写在课本第45页的表格中。师生共同小结。 练习一：（口答） 一、判断：好

1.两圆相切，只有一条公切线。 （ ）

2.两圆位置关系不同，公切线条数也不同。( )

3.只有两圆外离时，才存在内公切线。 （ ）

4.如果两圆不存在公切线，那么这两个圆是同心圆。 ( )

二、问答：好

1.两圆的公切线条数可能有几条？

2.若两圆有两条外公切线，则两圆有怎样的位置关系？

3.若两圆有一条公切线，则两圆有怎样的位置关系？

4.如果两个半径不等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能有几条？

3.公切线的长：

我们知道由圆外一点引该圆的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点

到圆的切线长，类似地两圆公切线上的两个切点之间的距离叫做公切线的长。