优化习题教学，培养学生创新思维能力
素质教育的核心是培养学生的创造能力和创新精神。因此，如何提高教学质量，如何培养学生的创新能力，就很自然的成个每个教师都十分关注的一个重要问题。在教学实践中我体会到，解决好这一问题的关键是在课堂教学中，有效地利用习题教学，引导学生积极思考与探索，从而培养学生的创新思维能力。
一、一题多用，培养学生思维的灵活性。
目前，教科书中所举的例题、所设计的练习题及习题都是在给定的条件下能够达到具体明确目标的一类题目，由于它具有明确的目标，而把活跃的思维局限在一定的范围内，但是人的思维是活跃的、无限的，不应加以限制，相反地，作为教师应善于把结论开拓引申、深化。
例如，在学习数学课本中有关切线长定理时，教师通过引导让学生自己证明得出切线长定理后，可进一步让学生观察图形，找出图中所有相等的线段、相等的锐角及所有的垂直关系。如图（连结AB交OP于点C）：
学生通过观察论证得出以下结论：
（1）图中所有相等的线段：PA=PB；OA=OB；AC=CB。
（2）所有相等的锐角：∠1=∠2；∠3=∠4；∠5=∠6；∠7=∠8
（3）所有的垂直关系：OA⊥PA；OB⊥PB；AC⊥OP。
通过这样的练习，不仅有助于学生沟通各知识点之间的内在联系，更有利于培养学生思维的开拓性和创新性，使思维变得活跃灵活，提高了学生发现、分析、解决问题的能力。
二、一题多解，培养学生思维的发散性。
一道数学题的结论往往可以运用多种途径去解决，具体地说，考虑的角度不同，采用的思路有别，实施的解法各异，但最终结论却又有异曲同工之妙，这大概就是数学的魅力吧。在解题中，考虑地愈广泛越深刻，所得的解法愈多样，对开拓学生的发散性就愈有利。一题多解的训练，能够充分调动学生的学习积极性，激发学习兴趣，培养思维的敏捷性，增强学生综合运用数学知识的能力，克服学生静止定向的思考问题的习惯，打破了消极定势的束缚。例如：已知2斤苹果，1斤桔子，4斤梨共付6元，又知4斤苹果，2斤梨，2斤桔子共付4元，现买4斤苹果，2斤桔子，5斤梨应付多少钱？（解题略）本题妙在不具体求出每种水果的单价，而是使用整体解题的思路直接求出答案为8元。又如计算(6x+y/2)(3x-y/4)，这是一道多项式的乘法运算，本题从表面上看无规律可找，学生也习惯按多项式的乘法直接计算，细心的同学发现第一个因式提出公因数2后，恰能构成平方差公式的模型，显然后一种解题思路优于第一种解题的思路。可以迅速地求出结果还不易出错。
1 一维搜索: 1精确一维搜索 精确一维搜索可以分为三类：区间收缩法、函数逼近法（插值法）、以及求根法。 区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。包括：黄金分割法、成功失败法、斐波那契法、对分搜索法以及三点等间隔搜索法等。 优化算法通常具有局部性质，通常的迭代需要在单峰区间进行操作以保证算法收敛。确定初始区间的方法：进退法 ①已知搜索起点和初始步长；②然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向；③如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。 1.1黄金分割法： 黄金分割法是一种区间收缩方法(或分割方法)，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。具有对称性以及保持缩减比原则。 优点：不要求函数可微，除过第一次外，每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单； 缺点：收敛速度慢； 函数逼近法（插值法）：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。 1.2牛顿法： 将目标函数二阶泰勒展开，略去高阶项后近似的替代目标函数，然后用二次函数的极小点作为目标函数的近似极小点。 牛顿法的优点是收敛速度快，缺点是需要计算二阶导数，要求初始点选的好，否则可能不收敛。 1.2抛物线法： 抛物线法的基本思想就是用二次函数抛物线来近似的代替目标函数，并以它的极小点作为目标函数的近似极小点。在一定条件下，
2 抛物线法是超线性收敛的。 1.3三次插值法： 三次插值法是用两点处的函数值和导数值来构造差值多项式，以该曲线的极小点来逼近目标函数的极小点。一般来说，三次插值法比抛物线法的收敛速度要快。 精确一维搜索的方法选择： 1如目标函数能求二阶导数：用Newton法，收敛快。 2如目标函数能求一阶导数： 1如果导数容易求出，考虑用三次插值法，收敛较快； 2对分法、收敛速度慢，但可靠； 3只需计算函数值的方法： 1二次插值法, 收敛快，但对函数单峰依赖较强； 2黄金分割法收敛速度较慢，但实用性强，可靠； 4减少总体计算时间：非精确一维搜索方法更加有效。 2非精确一维搜索 精确搜索计算量较大，特别是当迭代点远离最优解时，效率很低；而且，很多最优化方法的收敛速度并不依赖于精确一维搜索的过程。 非精确的一维搜索：通过计算少量的函数值，得到一个可接受步长，使得后续迭代点使目标函数要“充分”下降,达到一个满意水平，非精确一维搜索方法可大大节省计算量，且总体上有较快的收敛速度。不用寻找单谷区间！ 包括Armijo-Goldstein准则和Wolfe准则。Armijo-Goldstein 准则可能将目标函数的极小点给排除在可接受区域外！！ Wolfe将准则更新后可避免最优解被排除。
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“最优化设计”是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术，是根据最优化原理和方法，综合各方面的因索，以人机配合方式或用“自动探索”的方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最好设计方案的一种现代设计方法[1]。
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低工程造价的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。最优化设计方法己陆续应用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航空、造船，机床、汽车、自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。设计上的“最优值”是指在一定条件(各种设计因素)影响下所能得到的最佳设计值。最优值是一个相对的概念。它不同于数学上的极值，但有很多情况下可以用最大值或最小值来表示。
概括起来，最优化设计工作包括以下两部分内容[1]
1）将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型时要选取设计变量，列出目标函数，给出约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式;
2）采用适当的最优化方法，求解数学模型。可归结为在给定的条件(例如约束条件)下求目标函数的极值或最优值问题。
本章将根据前几章所提供的理论基础，以理论排量50/qmlr、压力16MPa、转速为1500r/min时单位体积排量最大为目标，建立多齿轮泵优化设计的数学模型，并用C语言编制优化设计的计算程序。
5.1 数学模型[1][11]
任何一个最优化问题均可归结为如下的描述，即：在满足给定的约束条件(可行域D内)下，选取适当的设计变量X，使其目标函数()fX达到最优值其数学表达式(数学模型)为：
设计变量：
12[...]TnXxxx nXDE
在满足约束条件：
()0vhX （1,2,...,vp）
浅谈对《最优化原理与方法》的学习
摘要：众所周知，最优化问题具有普遍性、实用性和趣味性。不仅在工农业生产、经济管理、交通建设等方面应用广泛，而且在日常生活中也经常遇到。本文给出了一个运输问题的数学模型，对最优化原理的理论算法进行了整理；同时本文也浅谈了一下理论算法和实际问题计算上的差异，最后给出了对最优化的一些展望。
关键词：最优化；学习感想；数学模型；算法差异
最优化问题无处不在，它不仅仅是关系到工农业生产、国家建设的大问题，也可能关系我们每天的日常生活。只要存在着选择，并涉及资源利用，就一定存在最优化问题。它可以很“高深”，比如在工程建设中的电力系统无功优化问题，比如国防建设中的导弹的轨迹优化问题；也可以很“生活”，比如我们可以研究同学在内大教室、图书馆、实验室和几个食堂之间的最优路径问题。它们有着共同的特点，就是很实际，并且很有趣。我们不仅要能够发现这些问题，还要善于将这些问题进行数学化抽象——建立数学模型，而且还要能够设计出相应算法，使得我们能够更加方便、简洁地给出每个模型的优化解或者是近似最优解。
一、实际问题建模
针对实际的工业生产和日常生活中遇到的最优化问题，我们首先就是要能够将其转化成为数学模型，为求解打下基础。建立模型一般有这样几个步骤：首先是提出问题并收集相关数据、资料；其次，利用数学知识建立一个数学模型，确定变量、目标函数以及约束条件；最后，利用数学理论计算出该模型的最优解，将之放回到实际问题中进行检验和实施，利用反馈信息再调整模型。
例如运输问题：在某一地区，有某种物资需要从m个生产地运往n个销售地。如果每个产地的供应量、每个销地的需求量以及产地到销地的单位运费都是已知的，那么将这种物资从各个产地调运到各个销地，调运的方案可以很多。应如何组织调运，才能使总运费或运输量最小，就称为运输问题。
对于运输问题，我们可以按照如下思路建立数学模型：假设产地设某种物资有m个产地，n个需求地，各产地的产量、各销地的销量以及各产地至各销地的单位运价如下：ijc：第i个产地到第j个销地的单位运价；ia：第i个产地的产量；jb：第j个销地的需求量；ijx ：第i个产地运往第j个销地的物资数量。其中，1,2...;1,2...imjn。
