线性方程组求解及应用

线性方程组求解及应用

线性方程组是由一组线性方程所组成的方程集合。线性方程组的解是满足所有方程的变量取值集合。求解线性方程组的过程就是找到使得所有方程都成立的变量取值，也就是找到方程组的解。

线性方程组可以用矩阵的形式表示。设线性方程组有n个未知数，m个方程，那么可以将方程组表示为一个n×m的矩阵A乘以一个m×1的向量X等于一个n×1的向量B。即

AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。

求解线性方程组有多种方法，下面介绍常见的几种方法。

1.高斯消元法：高斯消元法是一种基本的求解线性方程组的方法，它通过消元法将线性方程组化为上三角形式。具体步骤如下：

a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；

b) 选取一个非零的元素作为主元，通过初等行变换将主元所在的列下方的元素都变为0；

c) 对剩余的行进行相同的操作，依次选取主元，直到将矩阵化为上三角形式；

d) 回代求解未知数。

2.矩阵求逆法：如果方程组的系数矩阵A可逆，那么可以通过求系数矩阵A的逆矩阵来求解线性方程组的解。即X=A^(-1)B。求逆矩阵可以使用伴随矩阵求解，也可以使用线性方程组的增广矩阵进行求解。

3.克拉默法则：克拉默法则适用于未知数个数和方程个数相等的线性方程组。该方法通过求解系数矩阵A对应的行列式和每个未知数对应的行列式的比值来求解方程组。具体步骤如下：

a)计算系数矩阵A的行列式D；

b)将方程组中第i个未知数的系数替换为常数向量B，计算系数矩阵A_i的行列式D_i；

c)未知数的取值即为D_i除以D的值。

线性方程组的应用范围很广，常见的应用包括：

1.电路分析：电路中的电流和电压关系可以表示为线性方程组，通过求解线性方程组可以分析电路中各部分的电流和电压分布。 2.优化问题：例如线性规划问题，可以通过线性方程组的求解来找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。

毕节学院实验报告

实验名称： 解线性方程组的直接法

实验报告序号： 5

组 别 姓 名 罗晟 同组实验者

实验项目 解线性方程组的直接法 实验日期 2012年11月 17日

实验类别 □√ 1、验证性实验或基础性实验； □ 2、综合性实验

□ 3、设计性实验； □ 4、创新性实验和研究性实验；

教师评语

实验成绩 指导教师（签名） 赖志柱 年 月 日

实验目的

掌握线性方程组直接解法的基本思想，进一步熟练掌握高斯消去法，提高编程能力和解算线性方程组问题的实践技能。

实验任务与要求

用一种高级语言（推荐用MATLAB）编写高斯消去法具体实现的函数，要求输入参数包含方程组的系数矩阵及常数项向量，输出方程组的解，并使用若干个有代表性的例子进行调试。

小组合作分工说明：

实验过程及内容：

function [x,det,index] = LGuass(A,b)

[n,m] = size(A);nb = length(b);

if n ~= m

error('矩阵A的行列必须相等！');

return;

end

if m ~= nb

error('b矩阵的个数必须与矩阵A的行数相等！');

return;

end

%开始计算，先赋初值

index = 1;

det = 1;

x = zeros(n,1);

for k = 1:n-1

%选主元

a_max = 0;

for i = k:n if abs(A(i,k)) > a_max

a_max = abs(A(i,k));r = i;

end

end

if a_max < 1e-20

index = 0;

return;

实验报告2 线性方程组的直接解法

班级专业 姓名 学号 成绩

一、实验目的

掌握高斯消去法思想，会用高斯消去法、列主元的高斯消去法、矩阵的三角分解法求解线性方程组。

二、实验内容、计算过程与结果

题目 1、（P73 第1题） 用高斯消去法解方程组

1231231221314254 2 7xxxxxxxx.

程序 （将程序粘贴在此）

结果 （将结果粘贴在此）

题目 2、（P73 第3题）用LU紧凑格式分解法解方程组

1234579101681091.71087157651xxxx

程序 （将程序粘贴在此）

结果 （将结果粘贴在此）

题3、（P73 第4题）用列主元的三角分解法求解方程组 目 1231231232213 472320xxxxxxxxx

程序 （将程序粘贴在此）

结果 （将结果粘贴在此）

完成日期：2014/3/13

毕节学院实验报告

实验名称： 解线性方程组的直接法

实验报告序号： 5

组 别 姓 名 罗晟 同组实验者

实验项目 解线性方程组的直接法 实验日期 2012年11月 17日

实验类别 □√ 1、验证性实验或基础性实验； □ 2、综合性实验

□ 3、设计性实验； □ 4、创新性实验和研究性实验；

教师评语

实验成绩 指导教师（签名） 赖志柱 年 月 日

实验目的

掌握线性方程组直接解法的基本思想，进一步熟练掌握高斯消去法，提高编程能力和解算线性方程组问题的实践技能。

实验任务与要求

用一种高级语言（推荐用MATLAB）编写高斯消去法具体实现的函数，要求输入参数包含方程组的系数矩阵及常数项向量，输出方程组的解，并使用若干个有代表性的例子进行调试。

小组合作分工说明：

实验过程及内容：

function [x,det,index] = LGuass(A,b)

[n,m] = size(A);nb = length(b);

if n ~= m

error('矩阵A的行列必须相等！');

return;

end

if m ~= nb

error('b矩阵的个数必须与矩阵A的行数相等！');

return;

end

%开始计算，先赋初值

index = 1;

det = 1;

x = zeros(n,1);

for k = 1:n-1

%选主元

a_max = 0;

for i = k:n if abs(A(i,k)) > a_max

a_max = abs(A(i,k));r = i;

end

end

if a_max < 1e-20

index = 0;

return;