辽宁省普兰店市第一中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)

- 1 - 辽宁省普兰店市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试

数学试题

时间：120分钟 满分：150分

范围： 必修五+选修

第1章~第二章:椭圆

一.选择题(每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若，则下列不等式中不成立．．．的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

，∵，∴，，∴，，所以不成立，故选．

2.已知等差数数列的前项和为,若,则等于( )

A. 15 B. 18

C. 27 D. 39

【答案】C

【解析】

由等差数列的性质可知，

又，故选C.

3.已知命题，其中正确的是（ ）

A.

B.

C.

D. - 2 - 【答案】C

【解析】

试题分析：命题，使的否定为,使，故选C．

考点：特称命题的否定．

4.下列命题中，不是真命题的是（ ）

A. 命题“若，则”的逆命题.

B. “”是“且”的必要条件.

C. 命题“若，则”的否命题.

D. “”是“”的充分不必要条件.

【答案】A

【解析】

命题“若，则”的逆命题为：若，则,显然是错误的，当m=0时则不成立，故A是假命题.

5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为（ ）

A. 24里 B. 48里 C. 96里 D. 192里

【答案】C

【解析】

由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列，且前6项的和为378，求该数列的第二项．设首项为，则有，解得，故里．选C．

6.已知数列满足，则的通项公式为（ ） - 3 - A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

由得，∴

，∴，当时也符合，∴数列的通项公式为.故选C.

7.设满足约束条件，则的最大值是（ ）

A. 9 B. 8 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点处取得最大值，其最大值为.

本题选择A选项.

8.在中，内角所对的边长分别是，若.则的形状为( )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】 - 4 - 余弦定理得代入原式得

解得

则形状为等腰或直角三角形,选D.

点睛：判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．

9.、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则=（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

由题得，故选C.

点睛：本题的难点在于找方程，看到焦半径要联想到圆锥曲线的定义，优化解题，提高解题效率.

10.若不等式对一切实数都成立,则的取值范围为( )

A. (-3,0) B. [-3,0)

C. [-3,0] D. (-3,0]

【答案】D

【解析】 - 5 - 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－3

11.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为( )

A. 5 B. 7

C. 13 D. 15

【答案】B

【解析】

试题分析：依据题意可得，椭圆的焦点分别是圆和圆

的圆心，所以根据椭圆的定义可得：，故选B．

考点：椭圆的性质及圆锥曲线综合应用．

【方法点晴】本题考查与圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用，本题的解答中，利用椭圆的焦点分别是两圆和圆 的圆心，再结合椭圆的定义与圆的性质可求解出的最小值，其中确定椭圆的焦点恰好是两圆的圆心是解答本题的关键．

12.已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )

A. B.

C. D.

【答案】B - 6 - 【解析】

【分析】

当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得到关于的不等式，从而可得结果.

【详解】

当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．

∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，

∴ 中，，∴，

∴，∴，∴，

∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．

【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.

二.填空题：(每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.已知中，，，，那么______. - 7 - 【答案】

【解析】

【分析】

题中已知角、边和边，求角，知三求一可以直接利用正弦定理求出sinA，然后利用边的关系，求出角大小。

【详解】由正弦定理得：，即，故或者，

又因为，所以，所以

【点睛】正弦定理可以解决两类问题：

已知三角形的两角和任意一边，这类问题比较简单只有一组解。

已知三角形的两边和其中一边的对角，这类问题较为复杂，可能会有多解，需要注意角的范围和三角形中边与角的对应关系。

14.已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于为___________.

【答案】8

【解析】

由椭圆的长轴在y轴上，

则a2=m﹣2，b2=8﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣10．

由焦距为4，即2c=4，即有c=2．

即有2m﹣10=4，解得m=7．

故答案为：7.

15.若，且和的等差中项是1，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】 - 8 - 由等差中项可求出，进而求出，再利用基本不等式可求出的最小值。

【详解】由题得：+=2，即=2，故，而，

所以=（当且仅当时取得等号），故最小值为.

【点睛】运用基本不等式求最值，要注意“一正二定三相等”，其中定值及定值取得的条件尤为关键。

16.下列命题中:

①中，

②数列的前项和，则数列是等差数列．

③锐角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是．

④若，则是等比数列

真命题的序号是______________．

【答案】①③④

【解析】

由正弦定理知

反之， ，

即 ，故①正确；

当时，．由时， ．故数列不是等差数列，故②错误；

分两种情况来考虑：

当为最大边时，设所对的角为，由为锐角，根据余弦定理可得： ，解得 ；

当不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了，则有- 9 - ，可解得

所以综上可知的取值范围为 ．故③正确；

若 可得 ，可知首项与公比都为，因此{an}是等比数列，④正确．

故答案为：①③④

三.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知中，内角所对的边长分别是，.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若且，求面积.

【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ).

【解析】

【分析】

(Ⅰ)结合余弦定理和题中条件，可得，再利用三角形中角的范围确定。(Ⅱ)将，与联立解方程可得，进而代入面积公式。

【详解】(Ⅰ)在中，

由可知，，

根据余弦定理，

又，故.

(Ⅱ)由及，得，…(1) - 10 - 又由已知条件…(2)

联立(1)(2)，可解得,(或计算出)，

故面积为

【点睛】用余弦定理解三角形时，要灵活运用，可以把平方项放在等号的一端，乘积项放在另一端，再结合余弦定理去求解。

18.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.

(Ⅰ)若，且为真，求实数的取值范围；

(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)把，代入命题中，求出的取值范围，因为为真，所以和都为真，对两个的取值范围取交集即可。(Ⅱ)首先对命题化简，然后表示出和。是的充分不必要条件，所以中表示的的集合是中表示的的集合的子集，进而建立不等式求出的范围。

【详解】(Ⅰ)对于命题：由得，

又，∴，

当时，，即为真时实数x的取值范围是.

由已知为真时实数的取值范围是.

若为真，则真且真，∴实数的取值范围是.

(Ⅱ)是的充分不必要条件，即，且，

设，，则，

又，，

则且，∴实数的取值范围是.