平面法向量的计算公式
另一种方法是使用平面上的三个点来计算法向量。如果平面上有三个点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)，P3(x3, y3, z3)，那么可以通过向量叉乘来计算法向量。假设向量P1P2 = v1 = (x2-x1,
y2-y1, z2-z1)，向量P1P3 = v2 = (x3-x1, y3-y1, z3-z1)，则法向量n = v1 × v2 = (i, j, k)，其中i、j、k分别是向量v1和v2的分量。这样得到的法向量n就是平面的法向量。
另一种情况是，如果已知平面的法向量n = (A, B, C)和平面上一点P(x0, y0, z0)，也可以直接得到平面的方程为Ax + By +
Cz = D，其中D = Ax0 + By0 + Cz0。这时平面的法向量就是n =
(A, B, C)。
综上所述，平面法向量的计算公式可以根据平面的已知信息来灵活选择使用点法式、向量叉乘或者直接读取法向量的分量来计算。这些方法都可以帮助我们准确地计算出平面的法向量。
法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量．
几点注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有0mn．
•第一步：写出平面内两个不平行的向111222axyzbxyz，，，，，；
•第二步：那么平面法向量nxyz，，，满足1112220000xxyyzznaxxyyzznb．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a ，b．
若a∥b，即ab，则ab∥； 若ab⊥，即0ab，则ab⊥．
②直线与平面的位置关系： 直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l⊥．
若a∥n，即an，则l⊥； 若an⊥，即0an，则∥a．
（3）平面与平面的位置关系：平面的法向量为1n ，平面的法向量为2n．
若1n∥2n，即21nn，则∥； 若1n⊥2n，即021nn，则⊥．
利用空间向量证明垂直平行
1.设平面内两个向量的坐标分别为(121)a，，，(112)b，，，则下列向量中是平面的法向量的是( )
典例2 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱的长度都为1,且两两夹角为60°. (1)求线段AC1的长;
(2)求与夹角的余弦值.
2.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，点E和F分别为BC和A1C的中点．
1
平面向量的概念及线性运算
知识点：
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a
结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λaμa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
2
3.向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
选择题：
给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )
A．① B．③ C．①③ D．①②
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．
已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )
空间平面法向量求法 一、法向量定义
定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向
上分），无数条。
二、平面法向量的求法
1、内积法
在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，
在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的
方程组，解此方程组即可得到。
2、
任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3
个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面
的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
3、外积法
设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为 两
者交角，且0
由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=
（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。）
Code
public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3)
{
try
{ double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数 double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0; //各点坐标值
double[] returnValue = new double[3];
