非线性规划作业

现代设计方法-工程优化理论、方法与设计

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问题：

某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。每季度的生产费用为 （元），其中x是该季生产的台数。若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元。已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低。讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释。

问题的分析和假设：

问题分析：本题是一个有约束条件的二次规划问题。决策变量是工厂每季度生产的台数，目标函数是总费用（包括生产费用和存储费）。约束条件是生产合同，生产能力的限制。在这些条件下需要如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低。

问题假设：

1、工厂最大生产能力不会发生变化；

2、合同不会发生变更；

3、第一季度开始时工厂无存货；

4、生产总量达到180台时，不在进行生产；

5、工厂生产处的发动机质量有保证，不考虑退货等因素；

6、不考虑产品运输费用是否有厂家承担等和生产无关的因素。

符号规定：

x1——第一季度生产的台数；

x2——第二季度生产的台数；

180-x1-x2——第三季度生产的台数；

y1——第一季度总费用；

y2——第二季度总费用；

y3——第三季度总费用；

y——总费用（包括生产费用和存储费）。 2bxaxxf建模：

1、第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台；

2、每季度的生产费用为 （元）；

3、每季度生产数量满足40≤x1≤100，0≤x2≤100，100≤x1+x2≤180；

4、要求总费用最低，这是一个目标规划模型。

1. 非线性规划

我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。

非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。

非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。

非线性规划举例

[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。假设该商店啤酒的年销售量为A箱,每箱啤酒的平均库存成本为H元,每次订货成本都为F元。如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。

我们以Q表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为QAF。由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2QH,年库存成本可以表示为:

非线性规划的解法

非线性规划是一类重要的数学规划问题，它包含了很多实际应用场景，如金融市场中的资产配置问题，工程界中的最优设计问题等等。由于非线性目标函数及约束条件的存在，非线性规划问题难以找到全局最优解，面对这样的问题，研究人员提出了众多的解法。本文将从梯度法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等方法进行介绍，着重讨论它们的优劣性和适用范围。

一、梯度法

首先介绍的是梯度法，在非线性规划中，它是最简单的方法之一。梯度法的核心思想是通过寻找函数的下降方向来不断地优化目标函数。特别是在解决单峰函数或弱凸函数方面优势明显。

然而，梯度算法也存在一些不足之处，例如：当函数的梯度下降速度过慢时，算法可能会陷入局部最小值中无法跳出，还需要关注梯度方向更新的频率。当目标函数的梯度非常大，梯度法在求解时可能会遇到局部性和发散性问题。因此，它并不适合解决多峰、强凸函数。

二、牛顿法

在牛顿法中，通过多项式函数的二阶导数信息对目标函数进行近似，寻找下降方向，以求取第一个局部极小值，有时还可以找到全局最小值。牛顿法在计算方向时充分利用二阶导数的信息，使梯度下降速度更快，收敛更快。因此，牛顿法适用于单峰性函数问题，同时由于牛顿法已经充分利用二阶信息，因此在解决问题时更加精确，准确性更高。但牛顿法的计算量比梯度法大，所以不适合大规模的非线性规划问题。此外，当一些细节信息不准确时，牛顿法可能会导致计算数值不稳定和影响收敛性。

三、共轭梯度法

共轭梯度法是非线性规划的另一种解法方法。共轭梯度法沿预定义的方向向梯度下降，使梯度下降的方向具有共轭性，从而避免了梯度下降法中的副作用。基于共轭梯度的方法需要存储早期的梯度，随着迭代的进行，每个轴线性搜索方向的计算都会存储预定的轴单位向量。共轭梯度方法的收敛速度比梯度方法快，是求解非线性规划的有效方法。

四、拟牛顿法

拟牛顿法与牛顿法的思路不同，它在目标函数中利用Broyden、Fletcher、Goldfarb、Shanno（BFGS）算法或拟牛顿法更新的方法来寻找下降方向。而拟牛顿法的也需要保证下降方向是保证一定凸性的，因此在解决多峰性问题时具有优势。拟牛顿法可以在每个迭代步骤中选择不同的方向，与共轭梯度法相比，其内部存储需求更少。这种解决方法优化后，可以得到比共轭梯度法更准确的结果，并且遵循了全局最小值的策略。

实验作业6 非线性规划

练习 1

某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台．每季度的生产费用为()2fxaxbx=+（元），其中x是该季生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释．

解：

练习 2

一基金管理人的工作是，每天将现有的美元、英镑、马克、日元四种货币按当天汇率相互兑换，使在满足需要的条件下，按美元计算的价值最高．设某天的汇率、现有货币和当天需求如下：

美元 英镑 马克 日元 现有量)10(8 需求量)10(8

美元 1 .58928 1.743 138.3 8 6

英镑 1.697 1 2.9579 234.7 1 3

马克 .57372 .33808 1 79.346 8 1

日元 .007233 .00426 .0126 1 0 10

问该天基金管理人应如何操作(“按美元计算的价值”指兑入、兑出汇率的平均值，如1英镑相当于258928.01697.1=1.696993美元)．