非线性规划

非线性规划

非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。

非线性规划的一般形式可以表示为：

最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。

满足一组约束条件 g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。

为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。

非线性规划的难点在于寻找全局最优解。由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。

非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。

另一个应用是在工程学中的优化设计问题。例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。

在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。

总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。

例已知非线性整数规划为

max z=𝑥12+𝑥22+3𝑥32+4𝑥42+2𝑥52−8𝑥1−2𝑥2−3𝑥3−𝑥4−2𝑥5

s.t. 0≪𝑥𝑖≪99,𝑖=1,2,⋯5𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5≪400𝑥1+2𝑥2+2𝑥3+𝑥4+6𝑥5≪8002𝑥1+𝑥2+6𝑥3≪200𝑥3+𝑥4+5𝑥5≪200

（1）编写M文件mengte.m,定义目标函数f和约束向量函数g，程序如下：

function[f,g]=mengte(x);

f=x(1)^2+x(2)^2+3*(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)^2-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-x(4)-2x(5);

g(1)=sum(x)-400;

g(2)=x(1)+2*x(2)+2x(3)+x(4)+6*x(5)-800

g(3)=2x(1)+x(2)+6x(3)-200;

g(4)=x(3)+x(4)+5*x(5)-200;

(2)编写如下程序求问题的解：

rand('state',sum(clock));

p0=0;

tic

for i=1:10^5

x=99*rand(5,1);

x1=floor(x);x2=ceil(x);

[f,g]=mengte(x1);

if sum(g<=0)==4

if p0<=f

x0=x1;p0=f;

end

end

[f,g]=mengte(x2);

if sum(g<=0)==4

if p0<=f

x0=x2;p0=f;

end

end

end

x0,p0

toc

1. 非线性规划

我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。

非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。

非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。

非线性规划举例

[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。假设该商店啤酒的年销售量为A箱,每箱啤酒的平均库存成本为H元,每次订货成本都为F元。如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。

我们以Q表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为QAF。由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2QH,年库存成本可以表示为:

一．非线性规划课题

实例1 表面积为36平方米的最大长方体体积。

建立数学模型：

设x、y、z分别为长方体的三个棱长，f为长方体体积。

max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y)

实例2 投资决策问题

某公司准备用5000万元用于A、B两个项目的投资，设x1、x2分别表示配给项目A、B的投资。预计项目A、B的年收益分别为20%和16%。同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失为2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小。

建立数学模型：

max f=20x1+16x2-λ[2x12+x22+(x1+x2)2]

s.t x1+x2≤5000

x 1≥0,x2≥0

目标函数中的λ≥0是权重系数。

由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题。

非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。实例1为无约束问题，实例2为有约束问题。

二．无约束非线性规划问题：

求解无约束最优化问题的方法主要有两类：直接搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method)，单变量用fminbnd,fminsearch,fminunc;多变量用fminsearch,fminnuc

1．fminunc函数

调用格式： x=fminunc(fun,x0)

x=fminunc(fun,x0,options)

x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)

[x,fval]=fminunc(…)

[x,fval, exitflag]=fminunc(…)

[x,fval, exitflag,output]=fminunc(…)

[x,fval, exitflag,output,grad]=fminunc(…)