非正弦交变电流有效值的计算

第二课时 交流电的描述 2019.11.12

导学目标：

1．掌握交变电流的周期、频率、线圈转动角速度三者之间的关系。

2．能理解电流的有效值是与热效应有关的量，而平均值只是简单意义的平均。

3．掌握交变电流有效值与最大值的关系，会进行有效值的计算。

4．掌握交变电流的变化规律及两种表示方法。

一、交变电流的概念

1．大小和方向都随时间做周期性变化的电流叫交变电流，简称交流．

2．方向不随时间变化的电流称为直流．大小、方向都不随时间变化的电流称为恒定电流．

3．对直流电流和交变电流的区分主要是看电流方向是否变化．

4．对中性面的理解:

(1)中性面是与磁场方向垂直的平面，是假想的一个参考面。

(2)线圈平面位于中性面时，穿过线圈平面的磁通量最大，而磁通量的变化率为零，产生的感应电动势为零。

(3)线圈平面与中性面垂直时，穿过线圈平面的磁通量为零，但磁通量的变化率最大，产生的感应电动势最大。

(4)线圈每经过中性面一次，电流方向就改变一次，线圈转动一周，两次经过中性面，所以电流的方向改变两次。

【练习题组1】

1．关于线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流，以下说法中正确的是( )

A．线圈平面每经过中性面一次，感应电流方向就改变一次，感应电动势方向不变

B．线圈每转动一周，感应电流方向就改变一次

C．线圈平面每经过中性面一次，感应电动势和感应电流的方向都要改变一次

D．线圈转动一周，感应电动势和感应电流方向都要改变一次

2．如图，各图面积均为S的线圈均绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B中以角速度ω匀速转动，能产生正弦交变电动势e＝BSωsin ωt的图是( )

A B C D E F

3．处在匀强磁场中的矩形线圈abcd，以恒定的角速度绕ab边转动，磁场方向平行于纸面并与ab边垂直．在t＝0时刻，线圈平面与纸面重合，如图所示，线圈的cd边离开纸面向外运动．若规定沿a→b→c→d→a方向的感应电流为正，则能反映线圈中感应电流i随时间t变化的图像是( )

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交变电流中有效值和平均值的分析与比较

作者：徐业超

来源：《中学物理·高中》2015年第02期

电压是形成电流的原因.电路中的电流大小用字母I表示，在某段时间t内流过导体某一横截面积的电量为Q，则电路中电流为I=Qt.在恒定电流电路中，电路中的电流大小和方向保持不变，因此，电路中流过的电量的计算可以用Q=It来计算.对纯电阻电路，电功（即电热）可以用W=UIt=I2Rt来计算，电功率（即热功率）可以用P=UI=I2R来计算，这都是学生非常熟悉的公式.

在学习了电磁感应现象以后，学生接触到了生活中常见的交变电流.对交变电流的产生过程及描述交变电流的相关参数，如交变电流的峰值、周期（频率）、有效值等有了一定的了解，在进行相关计算的时候，由于对相关参数的理解不够透彻，还会出现一些科学性的问题，现举例进行分析.

例1如图1所示，一只匝数为100匝的闭合矩形线圈abcd，其电阻R=10 Ω，在一磁感应强度B=0.1 T的匀强磁场中，绕中心轴OO′匀速转动，角速度ω=314 rad/s，已知ab=bc=0.1

m，在线圈从中性面位置转过90°角的过程中，求：线圈中产生的热量.

典型错误解法由ω=314 rad/s得

T=2πω=0.02 s，

则线圈转动的时间为t=14T=0.005 s，

由法拉第电磁感应定律得

=nΔΦΔt=100×0.1×0.1×0.10.005 V=20 V，

则=R=2010 A=2 A，

所以Q=Rt=22×10×0.005 J=0.2 J.

例2题目同上，在线圈从中性面位置转过90°角的过程中，求流过线圈导线横截面的电量.

典型错误解法线圈中感应电动势为

ε=nBSωsinωt=100×0.1×0.1×0.1×0.314sinωt

1 习题课一：非正弦式交流电有效值的计算与应用

一、交流电有效值的定义：指对做功或发热有效。让某个交流电和一个直流电对同样大小的电阻加热，如果在相等的时间内它们产生的热量相等，那么交流电的有效值就等于直流电的数量大小。（注意4个相等：被加热电阻相等、时间相等、发热量相等，则交流电的有效值与直流的数量大小相等）

交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的，与电流的方向无关，但一般与所取的时间的长短有关，在无特别说明时，是以一个周期的时间来计算有效值的。

二、3个结论提示：

⑴、按此定义某一直流电的有效值就是直流电本身。应用见例1。

⑵、线性变化电流的有效值=平均值=（最大值+最小值）÷2。

⑶、“完整”的标准正弦交流电的有效值和最大值的关系为：EEm2，IIm2，UUm2。

注意：如果通电时间较短（短至1/4周期），但在起止时刻恰好等于正余弦的0值或峰值，也是满足前述关系的，见例2。如果起止时刻不等于正余弦的0值或峰值，就不成立，见例0。

例0：有一正弦交流电的最大值为10伏,加在一直流电阻为10欧的纯电阻上。已知它的周期为0.2秒，则它在0.05秒内的发热量可能为：（A、B、C）

A大于0.25焦，B小于0.25焦，C等于0.25焦，D一定为0.25焦。

三、非正弦式交流电有效值的计算方法与例题

方法说明：⑴、按有效值的定义通过加热来计算。⑵、通常计算工作一个周期内的发热量。⑶、为计算为一个周期内的发热量，焦耳热公式中所用的U和I仍然需要是有效值，如例3中前2秒内的有效值是20/2，后1秒内的有效值是10/2。

具体步骤：1、分析一个周期内不同时间段的电流特点，确认每一时段的有效值。2、计算它在一个周期内的发热量。3、根据有效值定义（交流、直流发热量相等）列方程计算出有效值。

【例1】计算下图所示交流电的有效值，如果该交流电加在一个5Ω的电阻元件上，它在4个周期内产生的焦耳热是多少。

解：依据 “某一直流电的有效值就是直流电本身”结合图象可知，该交流电在前、后各T/2内的有效值分别为I1=42A和I2=22A，设它的有效值为I，研究一个周期内的发热量，

非正弦交流电有效值的计算

交变电流的大小和方向随时间作周期性变化。为方便研究交变电流的特性，根据电流的热效应引入了有效值这一物理量。

定义：若某一交流电与另一直流电在相同时间内通过同一电阻产生相等的热量，则这一直流电的电压、电流的数值分别是该交流电的电压、电流的有效值。

教材中给出了正弦交流电的有效值I与最大值Im的关系IIm2，那么非正弦交流电的有效值又该如何求解呢？其方法是从定义出发，根据热效应求解。

例1. 如图1所示的交变电流，周期为T，试计算其有效值I。

图1

分析：由图1可知，该交变电流在每个周期T内都可看作两个阶段的直流电流：前T3中，IA16，后23T中，IA23。在一个周期中，该交变电流在电阻R上产生的热量为：

633231822RTRTRT ①

设该交变电流的有效值为I，则上述热量

QIRT2 ②

联立①、②两式，可得有效值为IA32

例2. 如图2所示表示一交变电流随时间变化的图象，其中，从t＝0开始的每个T2时间内的图象均为半个周期的正弦曲线。求此交变电流的有效值。

图2

分析：此题所给交变电流虽然正负半周的最大值不同，但在任意一个周期内，前半周期和后半周期的有效值是可以求的，分别为

设所求交变电流的有效值为I，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得

即I22222124212()() 解得IA5

例3. 求如图3所示的交变电流的有效值，其中每个周期的后半周期的图象为半个周期的正弦曲线。

图3

分析：从t＝0开始的任意一个周期内，前半周期是大小不变的直流电，为IA15，后半周期是有效值为IA252的交变电流。

设所求交变电流的有效值为I，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得

即I2225125212()