高等代数数系发展

高等代数简介

一、高等代数的教学目的及重要性

代数学是以代数结构作为研究对象的一门学科。所谓代数结构, 就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合。高等代数是代数学的基础部分,是高等学校数学学院的学生的一门专业基础课程，它既是中学代数的继续和提高，也是数学各分支的基础和工具。高等代数这门课程概念多, 理论性强, 内容抽象, 充分体现了数学的严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性等特征。通过该课程的学习, 可逐渐培养和训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高学生的数学素质。随着科学技术的进步, 特别是计算机技术的迅速发展与普及,代数学在信息科学、计算机科学和物理学等许多领域都有着非常广泛的应用。高等代数作为数学学院各专业的重要基础课,学习的好坏, 直接关系到多门后续课程的学习, 同时又关系到学生以后从事科学与技术研究的基本功。

二、高等代数简要发展史

代数学是一门古老的数学学科，最简单的代数运算—正整数和有理数的算术运算及这些运算的代数性质在古代就知道了，17-18世纪“代数学”被理解为在代数符合上进行运算的科学，即对由字母组成的公式的“恒等”变换、解代数方程等，到18世纪中叶，代数学或多或少地相当于现在的“初等代数”。18世纪和19世纪的代数学处理的主要内容是多项式。历史上，首要的问题是求解一个未知数的代数方程即求解下述类型的方程

1010nnnaxaxa

其目的是推导出由方程的系数经加、减、乘、除及开方所构成的公式来表示方程的根。事实上，人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。16世纪意大利数学家发现了解三次方程和四次方程的求解公式。这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的求解公式。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家大量的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决。同时，这个时期对于任意复系数代数方程的复根的存在性就成为数学家的主要兴趣，在18世纪和19世纪交替的时候，德国数学家高斯证明了代数方程有解存在的基本定理即代数基本定理。到了19 世纪初, 挪威青年数学家阿贝尔证明了五次或五次以上的方程一般不能用根式求解, 即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。19 世纪初30年代，法国一位青年数学家伽罗华对代数方程使用根式求解的可能性给出了一个一般性的判别法，使高次代数方程求解问题得到彻底解决。到19世纪中叶和后半世纪，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。他在数学史上做出的贡献, 不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题,更重要的是他所引入的思想，大大推动了对于群、域以及其它一些代数体系的研究，开辟了代数学的一个崭新的天地, 直接影响了代数学研究方法的变革，促进了代数学的进一步发展。

代数学发展历程

在宽广的数学领域范围内，代数学只是其中的一个分支，一个部分．“代数学”这个名称，在我国是1859年正式开始使用的．那么什么是代数？代数学又是如何发展的呢？

1847年，英国人伟烈亚力来到上海，他用中文写了一本《数学启蒙》，在序中说：“有代数、微分诸书在，余将续梓之．”这是第一次使用代数这个词来作为数学分科的名称．李善兰是我国清代数学家．1859年和伟烈亚力合译英国棣么甘（Augustus De

Morgan）的“Elements of Algebra”正式定名为《代数学》．这是我国第一本代数学书，代数的名称就是这样来的．

代数是对字母、字母表达式进行运算或变换的学问．在初等数学中字母代表数，在近代数学中字母可以代表更广泛的对象，如向量、张量、矩阵、变换等．代数的发展大致分为三个时期．第一个时期从九世纪的花拉子米始，到十六世纪止．这个时期人们把代数看成为对字母进行运算，关于字母公式的变换以及关于代数方程式的学问．这些就是目前中学代数的内容．第二个时期从十六世纪开始到十九世纪，这时意大利数学家解出了三次方程和四次方程．由此人们开始研究更高次的代数方程．代数的中心问题逐渐变为代数方程式的理论了．十九世纪谢尔的两卷本的代数问世，在这部书中代数被定义为方程式论．这在当时是个创举．在第二个时期内，行列式与矩阵的理论，二次型与变换的理论，特别是不变量的理论等代数工具也发展起来了．在这个时期内群论及不变量的理论的发展对几何学的发展起了重大影响．第三个时期从上世纪末到本世纪．这时在力学，物理以及数学本身越来越频繁地研究到一些对象，对这些对象也要考虑加法、减法，有时要考虑乘法和除法．这些对象中有矩阵、张量、旋量、超复数等．这样人们就不得不考虑某种更一般的集合，在这种集合中有某种运算，并满足一定的运算法则．这就是说，我们不得不考虑某种代数系统．这样一来，代数的目的是研究各种代数系统．这就是公理化，或抽象化的代数．说它是抽象的，是因为所考虑的代数系统是用字母表示的．说它是公理化的，是因为它只遵从作为它的基础的那些公理．有趣的是这样的代数系统无论就数学本身而言，或就它的应用而言都具有巨大意义．

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高等代数 预备知识

一 知识回顾

1、数的发展

自然数(N)整数(Z)有理数(Q)实数(R)复数C（）

（这会导致数的研究）

2、式的发展

字母代替数单项式多项式、分式、根式

3、方程的发展

（1）（一元多次方程） 一元一次方程一元二次方程…

（这会导致抽象代数的研究）

（2）（多元一次方程组）

二元一次方程组三元一次方程组…

（这会导致高等代数的研究）

4、函数的发展

具体函数（一次、二次、指数、对数函数）抽象函数

（这会导致数学分析的研究）

二、复习知识

1、复数

复数是指能写成如下形式的数abi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开平方根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。

复数的定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。

(1) 定义：形如Zabi的数称为复数，其中规定i为虚数单位，且21i（,ab是任意实数）

我们将复数Zabi中的实数a称为虚数Z的实部，记作ReZa。

实数b称为虚数Z的虚部，记作ImZb. 第 2 页 共 7 页

易知：当0b时，Za，这时复数成为实数；

当0a且0b时 ，Zbi，我们就将其称为纯虚数。

(2) 定义： 对于复数Zabi，称复数Zabi为Z的共轭复数。

(3)定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，

记作||Z .即对于复数Zabi，它的模22||Zab

复数的集合用C表示，显然，R是C的真子集

代数学的发展

第一篇：代数学的发展

代数学的发展

初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。

高等代数发展简史

代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。

在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。