抛物线公式
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抛物线公式
抛物线的标准式是 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 是常数。下面将详细介绍如何得到抛物线公式。
一、点坐标式
先来看一个问题：如果已知三个不在同一直线上的点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 和 $(x_3,y_3)$，如何求解过这三个点的抛物线方程？
我们可以设抛物线方程为 $y=ax^2+bx+c$，然后代入三个点的坐标，即
$$\\begin{cases}y_1=ax_1^2+bx_1+c \\\\y_2=ax_2^2+bx_2+c
\\\\y_3=ax_3^2+bx_3+c\\end{cases}$$
这是一个含有三个未知数 $a,b,c$ 和三个方程的线性方程组，可以通过线性代数的方法求解。
首先，将上式简化，得到
$$\\begin{cases}a{x_1}^2+b{x_1}+c=y_1
\\\\a{x_2}^2+b{x_2}+c=y_2 \\\\a{x_3}^2+b{x_3}+c=y_3\\end{cases}$$
然后用高斯消元或其他方法解方程组，得到 $a,b,c$ 的值，进而得到抛物线方程。
二、焦点式
我们知道，平面内的所有抛物线都有一个焦点和一条直线作为对称轴。如果已知抛物线的焦点 $(F_x,F_y)$ 和对称轴的方程（通常为 $x=k$，$k$ 是常数），那么可以通过一系列推导得到抛物线的公式。
先设抛物线的焦点为 $(F_x,F_y)$，对称轴的方程为 $x=k$。假设抛物线上任意一点 $(x,y)$ 的到焦点的距离为 $d$，那么有
$$d=\\sqrt{(x-F_x)^2+(y-F_y)^2}$$
由于抛物线的几何定义是所有到焦点距离等于到对称轴距离的点的集合，因此有
$$d=\\left| x-k \\right|$$
将上式代入前面的式子，得到
$$\\sqrt{(x-F_x)^2+(y-F_y)^2}=\\left| x-k \\right|$$
平方后化简：
$$(x-F_x)^2+(y-F_y)^2=(x-k)^2$$
展开并将 $y$ 提出，得到
$$y=\\frac{(F_y-k)^2}{2(F_x-k)}+\\frac{F_x+k}{2}(x-k)$$
这就是抛物线的焦点式，其中 $F_x$、$F_y$ 和 $k$ 是常数。需要注意的是，当 $k=0$ 时，公式中的分母将为 0，因此这个公式只适用于当对称轴不过原点的情形。
三、顶点式
抛物线的另外一种常见形式是顶点式。顶点式的一般形式为
$$y=a(x-h)^2+k$$
其中 $(h,k)$ 是抛物线的顶点，$a$ 是抛物线的开口方向和大小的指标。如果 $a>0$，则抛物线开口朝上；如果 $a<0$，则开口朝下。
如何从抛物线的一般式得到顶点式呢？可以通过配方法将一般式转化为顶点式。具体的方法如下：
首先，将一般式化为标准式。设 $y=a(x-h)^2+k$ 中的 $a$ 为 $A$，则有
$$y=A(x-h)^2+k$$
展开并配方，得到
$$y=Ax^2-2Ahx+Ah^2+k$$
然后将常数项加入平方项中，即
$$y=A(x^2-2hx+h^2)+k-Ah^2$$
将 $x^2-2hx+h^2$ 视为一个平方差，即 $(x-h)^2$，得到
$$y=A(x-h)^2+k-Ah^2$$
这就是抛物线的顶点式。可以看到，如果已知抛物线的焦点和对称轴，那么可以通过焦点式推导出标准式，再通过配方法得到顶点式。
