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弦振动研究

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弦振动研究

【实验目的】

1．了解波在弦上的传播及驻波形成的条件。

2．测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率。

3．测量弦线的先行密度。

4．测量弦振动时波的传播速度。

【实验仪器】

弦振动研究实验仪及弦振动实验信号源各一台、双踪示波器一台。

实验仪器结构描述见图3-23-1

【实验原理】

驻波是有振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。

当入射波沿着拉紧的弦传播时，波动方程为

)(2cosxftAy

当波到达端点时会反射回来，波动方程为

)(2cosxftAy

式中，A为波的振幅；f为频率；为波长；x为弦线上质点的坐标位置，两波叠加后的波方程为

ftxAyyy2cos2cos221

这就是驻波的波函数，称之为驻波方程。式中，xA2cos2是各点的振幅，它只与x有关，即各点的振幅随着其与远点的距离x的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为xA2cos2、频率皆为f的简谐振动。

由式（3-23-3）可知，另02cos2xA，可得波节的位置坐标为

4)12(kx ，，，210k

另12cos2xA，可得波腹的位置坐标为

2kx ，，，210k

由式（3-23-4）、式（3-23-5）可得相邻两波腹（波节）的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中的测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。

在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的连个固定端之间的距离（弦长）L等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。

即有 2L 或 nL2 ，，，210n

式中，L为弦长；为驻波波长；n为半波数（波腹数）。

另外，根据波动理论，假设弦柔韧性很好，波在弦上的传播速度v取决于线密度和弦的张力T，其关系为

Tv

又根据波速、频率与波长的普遍关系式fv，可得

Tfv

由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得横波传播速度

nLfv2

如果已知张力和频率，由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得线密度

2)2(LfnT

如果已知线密度和频率，则由式（3-23-10）可得张力

2)2(nLfT

如果已知线密度和张力，则由式（3-23-11）可得张力

TLnf2

【实验内容】

一、实验前准备

1．选择一条弦，将弦的带有铜圆柱额一端固定在张力杆U型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。

2．把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外；放置好驱动线圈和接收线圈，接好导线。

3．在张力杆上挂上砝码（质量可选），然后旋动调节螺杆，使张力杆水平（这样才能从挂的物块质量精确地确定弦的张力）。因为杠杆的原理，通过在不同位置悬挂质量已知的为物块，从而获得成比例的、已知的张力，该比例是由杠杆的尺寸决定的。如图3-23-2所示。

二、实验内容

1．张力、线密度一定时，测不同弦长时的共振频率，并观察驻波现象和驻波波形。

（1）放置两个劈尖至合适的间距并记录距离，在张力杠杆上挂上一定质量的砝码记录质量及放置位置（注意，总质量还应加上挂钩的质量）。旋动调节螺杆，使张力杠杆处于水平状态，把驱动线圈放在离劈尖大约5～10cm处，把线圈放在弦的中心位置。

（2）将驱动信号的频率调至最小，以便于调节信号幅度。

（3）慢慢升高驱动信号的频率，观察示波器接收到的波形的改变。如果不能观察到波形，则调大信号源的输出幅度；如果弦线的振幅太大，造成弦线敲击传感器，则应减小信号源输出幅度；适当调节示波器的通道增益，以观察到合适的波形大小为准。一般一个波腹时，信号源输出为2～3V（峰－峰值），即可观察到明显的驻波波形，同时观察弦线，应当有明显的振幅。当弦的振动幅度最大时，示波器接收到的波形振幅最大，这时的频率就是共振频率，记录这一频率。

（4）再增加输出频率，可以连续找出几个共振频率。当驻波的频率较高，弦线上形成几个波腹、波节时，弦线的振幅会较小，眼睛不易观察到。这时把接收线圈移向右边劈尖，再逐步向左移动，同时观察示波器（注意波形是如何变化的），找到并记下波腹和波节的个数。

（5）改变弦长重复步骤3、4；记录相关数据于表3－23－1.

2.在弦长和线密度一定时，测量不同张力的共振频率。

（1）选择一根弦线和合适的砝码质量，放置两个劈尖至一定的间距，例如60cm，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）记录相关的线密度、弦长、张力、波腹数等参数。

（3）改变砝码的质量和挂钩的位置，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的数据于表3－23－2.

3.张力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的密度。

（1）放置两个劈尖至合适的间距，选择一定的张力，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）记录相关的弦长和张力等参数。

（3）换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。记录相关的数据于表3－23－3。

【数据与结果】

表3－23－1 张力一定时不同弦长的共振频率

张力/N 弦长/cm 波腹数n 波长/cm 共振频率/Hz 传播速度/1ms-×

12.25

60 1 120 131.4

157.7

55 1 110 143.9 158.3

50 1 100 156.7 156.7

45 1 90 173.4 156.1

40 1 80 195.7 156.6

弦的线密度0m＝0.477

作波长与共振频率的关系图。

050100150200250050100150系列1

表3－23－2 弦长一定时不同张力的共振频率

弦长/cm 张力/N 共振基频/Hz 传播速度/1ms-× 弦线线密度/1gm-×

60

5*0.25*9.8 131.0 157.2 0.49

4*0.25*9.8 117.7 141.2 0.49

3*0.25*9.8 103.6 124.3 0.48

2*0.25*9.8 86.6 103.9 0.46

1*0.25*9.8 62.5 75.0 0.44

作张力与共振频率的关系图，作张力与波速的关系图。

注：这里的共振频率应为基频，如果误记为倍频的数值，则将得出错误的结论。

02040608010012014016018002468101214系列1

【实验指导】

1. 如果驱动与接受传感器靠得近，将会产生干扰，通过观察示波器中的接收波形可以检验干扰的存在。当它们靠得太近时，波形会改变。为了得到较好的测量结果，至少两传感器的距离至少应大于10cm。

2. 悬挂和更换砝码时动作应轻巧，以免使弦线崩断，造成砝码坠落而发生事故。

【思考题】

1. 通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件和因素有关?

弦的长度，弦的张力，弦的密度

2. 试将按公式求得值与静态线密度0比较，分析其差异及形成原因。

实验误差

3. 如果弦线有弯曲或者粗细不均匀，对共振频率和驻波的形成有何影响？

导致受力不均，使共震频率不稳定，从而不能形成驻波

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弦振动研究试验(教材)分析

弦振动研究试验(教材)分析

弦振动研究试验

传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采用柔性或半柔性的弦线，能用眼睛观察到弦线的振动情况，一般听不到与振动对应的声音。

本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容，由于采用了钢质弦线，所以能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的。结合示波器，更可深入研究弦线的非线性振动以及混沌现象。

【实验目的】

1. 了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。

2. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。

3. 测量弦线的线密度。

4. 测量弦振动时波的传播速度。

【实验原理】

张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。

图 1 １ 为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。

设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。

下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点 “O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：

弦振动方程与

弦振动方程与

- 1 - 弦振动方程与

弦振动方程是力学运动中重要的概念，它用于模拟受力的弦体的振动运动。弦振动方程的发展可以溯源到古希腊时期，由古希腊数学家凯撒斯在其时期提出的弦方程，在17世纪末到19世纪初作为弦振动方程形式存在。自从古希腊时期以来，弦振动方程一直是研究弦振动问题的基础。在当今，弦振动方程经常用于模拟从质点、弦体到结构框架等受力系统的动力学振动行为，并且在工程应用中被广泛用于振动分析的计算和运动模拟。

弦振动方程的历史追溯到古希腊时期，由古希腊数学家凯撒斯于《On the Sphere and Cylinder》一书中提出了第一个弦体振动方程，即弦振动方程。凯撒斯的弦振动方程可以表述为：弦上的任意一点的位移y可以表示为：y=Ay+Bsin(wt+f)，其中A、B、w、f分别表示系统的参数。前一部分（Ay）表示系统的静态位置，后一部分（Bsin(wt+f)）表示系统的振动位置。弦振动方程主要用于研究弦体的动力学振动行为，解释动力学行为的机理，包括幅度、频率、相位等。

在17世纪末到19世纪初，随着几何学、力学学说的发展，弦振动方程得到了深入研究。数学家贝尔格拉姆把凯撒斯的弦振动方程称为“贝尔格拉姆方程”，是弦振动方程的第一个重要发展。20世纪，力学家斯穆特科特尔于1903年提出了新的弦振动方程，该方程预测了不同类型弦体的振动行为。斯穆特科特尔的方程被称为“斯穆特科特尔方程”，它在不同类型弦体振动行为预测中有着重要的作用，极大地丰富了弦振动方程的理论内涵。 - 2 - 有着悠久历史的弦振动方程在现代被广泛应用于科学研究和工业应用。在科学研究领域，弦振动方程被用于各个研究领域的研究，包括天文学、电化学、地震学研究等，也被应用于生物力学，研究肌腱的振动行为特性。在工程领域，弦振动方程被广泛应用于飞机、汽车、火车车身振动分析，受力构件的动态分析，各种机械结构的动态分析，以及机电系统的振动分析等。此外，弦振动方程还有着重要的在声学领域的应用，被用于研究声学发射体的动态行为特性以及声音传播等。

弦振动研究试验(教材)

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弦振动研究试验

传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采用柔性或半柔性的弦线，能用眼睛观察到弦线的振动情况，一般听不到与振动对应的声音。

本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容，由于采用了钢质弦线，所以能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的。结合示波器，更可深入研究弦线的非线性振动以及混沌现象。

【实验目的】

1. 了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。

2. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。

3. 测量弦线的线密度。

4. 测量弦振动时波的传播速度。

【实验原理】

张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。

图 1 .

.. 为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。

设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。

下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点 “O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：

弦振动的研究

弦振动的研究

第９卷第４期　太原师范学院学报（自然科学版）　２Ｏ１Ｏ年１２月　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＡＩＹＵＡＮ　Ｎ０ＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　ＶｏＩ｜９　Ｄｅｅ．　Ｎｏ．４　２Ｏ１Ｏ　

弦振动的研究　

张开明　

（盐城师范学院物理系，江苏盐城２２４００２）　

［摘要］　文章对弦振动Ｎ－波波动方程进行了讨论，研究了固定线密度时弦振动的拉力与波长、　拉力与频率之间的关系，利用ｏｒｉｇｉｎ软件得出实验曲线，并找出研究张力和波长曲线关系时的最佳　频率．￣Ｌｒｇ－究拉力和频率曲线关系时的最佳波长．　［关键词］　驻波；波动方程；张力；最佳频率；最佳波长　［文章编号］　１６７２—２０２７（２０１０）０４—００９６—０４　［中图分类号］　０３６９　［文献标识￣－ｕｊ３　Ａ　

０　引言　

对于驻波产生，通常采用如图１所示的实验来演示．该实验直观、形象地给出了驻波的波形．对弦振动进　

行研究时，频率太大形成驻波时波幅太小，不明显；若频率太小时，波长太长，需要的弦线太长，不方便实验．　

本文就弦线上驻波产生需要满足什么条件，驻波产生时，如何找出弦长、弦上张力、弦线密度的关系以及振源　

频率的最佳组合进行了研究．　

图１驻波实验装置　Ｆｉｇ．１　Ｗａｖｅ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ｄｅｖｉｃｅ　

１一机械振动源２一振动簧片　３一弦线４一可动刀口支架　５一可动滑轮支架６一标尺　７一固定滑轮８一砝码与砝码盘９一变压器　１Ｏ一实验平台　１１一实验桌　图２仪器结构图　

Ｆｉｇ．２　Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　

收稿日期：２０１０－０６　２３　作者简介：张开明（１　

９７３一），男，江苏盐城人，盐城师范学院物理系实验师，主要从事普通物理实验研究及电机及其控制系统研究　第４期　张开明：弦振动的研究　９７　

１弦上驻波的产生　

弦线上的驻波实验常用一端固定的张紧的弦线来演示，将一砝码系在跨过滑轮的弦线的一端，振动器