第7章 矩阵分析

附录I 矩阵分析介绍

一、内容提要

本章以矩阵序列的极限理论为基础的，介绍矩阵分析的一些基本内容, 包括矩阵序列的极限运算，矩阵序列和矩阵级数的收敛定理, 矩阵幂级数的极限运算和矩阵函数，矩阵的微积分等. 由于采用相似的极限理论为基础, 因此本章内容与通常的(函)数列, (函)数项级数,

幂级数具有许多类似的结果, 建议读者在学习本章时, 与高等数学中相应的内容进行对照,

比较异同, 加深理解.

(一) 矩阵序列于矩阵级数

1．矩阵序列

定义 设1kkA为mnC中的矩阵序列， 其中()kkijaA．如果ijkijkaa)(lim对i=1,2,…,m, j=1,2,…,n均成立，则称矩阵序列1kkA收敛，而ijaA称为矩阵序列1kkA的极限，记为limkkAA.不收敛的矩阵序列称为发散的.

从定义可知, 判断矩阵序列收敛需要判断所有矩阵元素组成的nm个数列同时收敛.

下面的定理告诉我们可以通过矩阵范数的收敛(一个数列)来判断矩阵序列的收敛.

定理 设1kkA为mnC中的矩阵序列，为mnC中的一种矩阵范数，则矩阵序列1kkA收敛于矩阵A的充要条件是kAA收敛于零．

从线性空间的观点来看, 一个矩阵可以看作是它所在的矩阵空间中的一个“点”，因此一个矩阵序列的收敛问题就可以看成是该矩阵空间中的“点列”的收敛问题，就可以用各点到极限点的距离（范数）来描述收敛。

矩阵序列收敛有如下性质:

（1） 设1kkA和1kkB为mnC中的矩阵序列，并且limkkAA，limkkBB，则

lim,,kkkABABC．

（2） 设1kkA和1kkB分别为mnC和nlC中的矩阵序列，并且limkkAA，limkkBB，则 limkkkABAB．

（3） 设1kkA，AnnC中的矩阵序列，limkkAA并且(1,2,)kkA和A均为可逆的，则 11limkkAA．

资料 第一章 线性空间与线性变换

（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）

资料 资料 资料 资料 资料 资料 资料

资料

（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）

1.9.利用子空间定义，)(AR是mC的非空子集，即验证)(AR对mC满足资料 加法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankAnANrankAAR)(dim,)(dim（解空间的维数）

1.13.提示：设),)(njiaAnnij（，分别令TiXX),0,0,1,0,0((其中1位于iX的第i行），代入0AXXT，得0iia；令TijXX)0,0,10,0,1,0,0(（其中1位于ijX的第i行和第j行），代入0AXXT，得0jjjiijiiaaaa，由于0jjiiaa，则0jiijaa，故AAT，即A为反对称阵。若X是n维复列向量，同样有0iia，0jiijaa，再令TijiXX),0,1,0,0,,0,0((其中i位于ijX的第i行，1资料 位于ijX的第j行），代入0AXXH，得0)(ijjijjiiaaiaa，由于0jjiiaa，ijjiaa，则0jiijaa，故0A

1.14.AB是Hermite矩阵，则ABBAABABHHH)(

1.15.存在性：令2,2HHAACAAB，CBA，其中A为任意复矩阵，可验证CCBBHH,

唯一性：假设11CBA，1111,CCBBHH，且CCBB11,，由1111CBCBAHHH，得CAACBAABHH2,211（矛盾)

资料 资料

第二章 酉空间和酉变换

资料 资料

（注意实空间与复空间部分性质的区别）

山西财经大学研究生课程教案

课 程 名 称 矩阵分析

课程编码 14xs20012

适用专业 计算机应用技术

开课时间 2015.9

授 课 对 象 2015计算机应用技术学历硕士

主 讲 教 师 常新功

职 称 教授

使 用 教 材 《矩阵分析》

二○一五年八月 教 案（扉页）课程名称 矩阵分析 总计： 48 学时

课程类别 专业基础课 学分 6 讲课： 40 学时

实践： 8 学时

教学目的 本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。

教学要求 熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。

教学方法 课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告

教学手段 多媒体课件+案例+理论推导+编程实现

考核方式 结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一

教学参考资 料 [1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版

[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The

SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2

[3]《Foundations of Data Science》，John Hopcroft，Ravindran Kannan，Version

山西财经大学研究生

课程教案

课 程 名 称 矩阵分析

课 程 编 码 14xs20012

适 用 专 业 计算机应用技术

开 课 时 间 2015.9

授 课 对 象 2015计算机应用技术学历硕士

主 讲 教 师 常新功

职

称 教授

使 用 教 材 《矩阵分析》

二O—五年八月 教 案（扉页）

课程名称 矩阵分析 总计：48学时

课程类别 专业基础课 学分 6 讲课：40学时 实践：8学时

教学目的 本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所 学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着 重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。 通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法， 全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函 数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学 习和研究打下扎实的基础。

教学要求 熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的 Jordan标准型，内积空间，正规矩

阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问 题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概 念和基本方法。

教学方法 课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告

教学手段 多媒体课件+案例+理论推导+编程实现

考核方式 结合课堂所学写一篇论文 /开卷考试二者选一

教学参考

资 料 [1] 《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社， 2010.6，第3版

[2] 《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition 》，Lars Eld 印，The

SIAM series on Fundamentals of Algorithms , 2007.2