矩阵分析第九章

第9章 矩阵特征值问题的数值

方法

9.1 特征值与特征向量

9.2 Hermite矩阵特征值问题

9.3 Jacobi方法

9.4 对分法

9.5 乘幂法

9.6 反幂法

9.7 QR方法

9.1 特征值与特征向量

设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有

数λ存在，满足 ， (1)

那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向

量.

如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为: x

()0IAx

||0IA即

1110()||...nnnfIAaaa记

它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特

征多项式， 其中a0=(-1)n｜A｜. (2)

显然，当λ是A的一个特征值时，它必然

是 的根. 反之，如果λ是 的根，

那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式

成立. 从而，λ是A的一个特征值.

A的特征值也称为A的特征根. ()0f()0f

矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：

定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要

条件是A有零特征值.

定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们

有相同的特征值.

定理9.1.3 n阶矩阵A与AT有相同的特征值.

定理9.1.4 设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特

征值，x、y分别是其相应的右特征向

量和左特征向量，那么，xTy=0 .

9.2 Hermite矩阵特征值问题

•设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH. 如

果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵.

9.2.1 Hermite矩阵的有关性质

设 是Hermite矩阵A的n个特征值. 有以下性质:

• 全是实数. 12,,...,n

12,,...,n

• 有相应的n个线性无关的特征

向量，它们可以化为一组标准酉交的特征向量组 ,即 12,,...,n

12,,...,nuuuHijuuij

• 是酉空间中的一组标准酉交基. 12,,...,nuuu

课程名称：矩阵分析

一、课程编码：1700002 课内学时： 32 学分： 2 二、适用学科专业： 计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业 三、先修课程： 线性代数，高等数学 四、教学目标 通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、 线性变换、Jordan标准形，及各种矩

阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广

义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理

论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有

严格的数学理论依据。 五、教学方式 教师授课 六、主要内容及学时分配 1、线性空间和线性变换 （5学时）

1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换

1.2子空间、线性变换

1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件

2、-矩阵与矩阵的Jordan标准形 （4学时）

2.1 -矩阵及Smith标准形

2.2 初等因子与相似条件

2.3 Jordan标准形及应用；

3、 内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵 （6学时）

3.1 欧式空间、酉空间

3.2标准正交基、Schmidt方法

3.3酉变换、正交变换

3.4幂等矩阵、正交投影

3.5正规矩阵、Schur 引理

3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式

3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵

3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形 4、 矩阵分解 （4学时）

4.1矩阵的满秩分解

4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR 分解）

4.3矩阵的奇异值分解

4.4矩阵的极分解

4.5矩阵的谱分解

5、 范数、序列、级数 （4学时）

5.1向量范数

5.2矩阵范数

5.3诱导范数（算子范数）

5.4矩阵序列与极限

5.5矩阵幂级数

6、 矩阵函数 （4学时）

6.1矩阵多项式、最小多项式

7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析

7.4.1 单刚组装形成总刚

根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的.如果一个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即

[K]是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座”叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行.如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系.将总体坐标轴分别用表示，对某单元有

式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量;［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有

是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠.

下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵.设有一个简单的平面结构，选取6个结点，划分为4个单元.单元及结点编号如图3-27所示.每个结点有两个自由度.总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步：

图7-27

（1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是

（2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为

（3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下：

（4）将所有的单元都执行上述的1，2，3步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.

（3-9）

（5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的.

1第九章

状态空间分析方法

2第9章状态空间分

析方法

基本要求

9-1 状态空间方法基础

9-2 线性系统的可控性和可观性

9-3 状态反馈和状态观测器

9-4 有界输入、有界输出的稳定性

9-5 李雅普诺夫第二方法

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3引言：

前面几章所学的内容称为经典控制理

论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。

经典控制理论

(50年代前)现代控制理论

(50年代后)

研究对象单输入单输出的线

性定常系统可以比较复杂

数学模型传递函数

(输入、输出描述)状态方程

(可描述内部行为)

数学基础运算微积、复变函

数线性代数、矩阵理论

设计方法的

特点非唯一性、试凑成

份多, 经验起很大

作用。主要在复数

域进行。设计的解析性，与计

算机结合，主要在时

间域进行。

4基本要求

①掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态

结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模

型的方法。

②熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域

和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态

方程计算传递函数的公式。

③正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换

前、后动态方程各矩阵的关系。

④正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。

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5⑤熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统

化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。

⑥正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题

转化为对偶系统的可控性问题来研究。

⑦正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、

可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实

现、可观性标准形实现的构成方法。

⑧正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解

状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。

6⑨熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练

掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的

状态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点

配置。

⑩正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的

概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统