二重积分的概念及性质
前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义
设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：
(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；
(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；
(3)把所有这些乘积相加,即作出和数
(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:
即：=
其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.
关于二重积分的问题
对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。 如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质
(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.
(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.
(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:
(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:
≤
(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使
其中σ是区域(σ)的面积.
二重积分的计算法
直角坐标系中的计算方法
二重积分及其应用于平面区域的面积计算
二重积分是微积分中的重要概念，它是对平面区域上一个函数的积分。在本文中，我将详细介绍二重积分的概念、性质和应用于平面区域面积计算的方法。
一、二重积分的概念和性质
二重积分用于计算平面上某个函数在一个有界区域上的积分。假设有一个平面区域D，它可以被一个闭区间[a, b]和一个连续函数g(x)所确定，那么函数f(x, y)在D上的二重积分可以表示为：
∬_D▒f(x,y)dσ = ∫_a^b▒∫_g(x)^h(x)▒f(x,y)dydx
其中dσ表示平面区域D的面积元素，f(x, y)是被积函数，g(x)和h(x)是确定区域D上y的范围的两个函数。
二重积分具有以下性质：
1. 线性性：对于函数f(x, y)和g(x, y)，以及常数c，有∬_D▒(cf(x,y)+g(x,y))dσ
= c∬_D▒f(x,y)dσ+∬_D▒g(x,y)dσ。
2. 切割性：如果区域D可以被切割成有限个子区域Di，那么∬_D▒f(x,y)dσ =
∑▒∬_D_i▒f(x,y)dσ，其中∬_D_i▒表示对子区域Di的二重积分。
二、应用于平面区域面积计算的方法
二重积分可以应用于计算平面区域的面积。将平面区域D分为无穷小的面积元素dσ，利用二重积分的定义可以得到平面区域D的面积S为：
S = ∬_D▒dσ = ∫_a^b▒∫_g(x)^h(x)▒dydx
其中函数f(x, y)可以简化为1，因为在这种情况下，二重积分的计算只需求区域D的面积。 在实际应用中，计算平面区域的面积可以采用两种不同的方法：直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系方法
在直角坐标系下，平面区域的面积计算可以通过确定区域上下边界的函数和左右边界的值来进行。首先，通过确定左右边界的x值范围[a, b]，以及上下边界的y值范围[g(x), h(x)]，可以得到平面区域D的边界方程。然后，应用二重积分的定义，计算∫_a^b▒∫_g(x)^h(x)▒dydx即可得到平面区域D的面积。
二重积分的概念及性质
前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义
设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：
(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；
(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；
(3)把所有这些乘积相加,即作出和数
(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:
即：=
其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.
关于二重积分的问题
对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。 如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质
(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.
(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.
(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:
(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:
≤
(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使
其中σ是区域(σ)的面积.
二重积分的计算法
直角坐标系中的计算方法
第七节 二重积分的概念与性质
与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.
内容分布图示
★ 曲顶柱体的体积
★ 二重积分的概念
★ 二重积分的性质 ★ 二重积分的中值定理
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-7
★ 返回
内容提要：
一、 二重积分的概念
定义1 设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域,,,,21n 其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii, 作乘积
),,2,1(,),(nifiii
并作和
,),(1niiiif
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分, 记为,),(Ddyxf 即
Ddyxf),(niiiif10),(lim (7.2)
其中),(yxf称为被积函数,dyxf),(称为被积表达式, d称为面积微元, x和y称为积分变量,D称为积分区域, 并称niiiif1),(为积分和.
对二重积分定义的说明: (1) 如果二重积分Ddyxf),(存在，则称函数),(yxf在区域D上是可积的. 可以证明，如果函数),(yxf区域D上连续，则),(yxf在区域D上是可积的. 今后，我们总假定被积函数),(yxf在积分区域D上是连续的;
