结构力学位移法

同济大学朱慈勉 结构力学 第7章 位移法习题答案

7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。

(a) (b) (c)

EI EI EI

2EI 2EI

1个角位移 3个角位移，1个线位移 4个角位移，3个线位移

(d) (e) (f)

EI1=∞

EA EI

EI1=∞

3个角位移，1个线位移 2个线位移 3个角位移，2个线位移

(g) (h)

(i)

k

一个角位移，一个线位移 一个角位移，一个线位移 三个角位移，一个线位移

7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。

(a)

解：（1）确定基本未知量和基本结构

有一个角位移未知量，基本结构见图。

11r11Z3i4i2iii1M图

1pR213ql216qlpM图

（2）位移法典型方程 11110prZR （3）确定系数并解方程

iqlZqliZqlRirp24031831,821212111 （4）画M图

2724ql2524qlM图218ql216ql

l l l A

B C D

i i i q (b)

解：（1）确定基本未知量

1个角位移未知量，各弯矩图如下

11r11Z1M图32EIEI12EI

590pM图

（2）位移法典型方程

11110prZR （3）确定系数并解方程

1115,352prEIR

153502EIZ

114ZEI

第八章 矩阵位移法

一、基本内容及学习要求

本章内容包括：矩阵位移法的解题思路，单元刚度矩阵及其坐标变换，直接刚度法(先处理)，等效结点荷载以及矩阵位移法应用中的问题。要求会用矩阵位移法计算结构的位移和内力。

通过本章的学习应达到：

(1)掌握矩阵位移法的解题思路和步骤，了解矩阵位移法与位移法的内在联系。

(2)建立单元坐标系下的单元刚度矩阵，明确单元刚度矩阵的特性及矩阵元素的物理概念。

(3)弄清坐标变换的含义，形成结构坐标系下的单元刚度矩阵。

(4)借助定位向量，熟练应用直接刚度法(先处理)形成结构刚度矩阵。

(5)计算综合结点荷载。

(6)利用结构刚度方程求解结点位移进而计算杆端内力。

二、学习指导

(一)矩阵位移法的解题思路与步骤

矩阵位移法与位移法的解题思路基本相同，两者的差异仅在于前者从机算考虑，采用矩阵使公式规格化，以适应程序设计的要求，故解题步骤和处理方法都有所不同。为使读者抓住学习要领，现用简例扼要说明两者间的关系。

图8．1所示三跨连续梁承受结点集中力偶作用。用位移法求解时若将其转化为三根两端固定梁，按以下步骤直接建立位移法方程。

(1)把三根梁作为三个单元，利用转角位

移方程将其杆端弯矩表示成杆端位移的函数

矩阵位移法和位移法两者比较，求解过程基本相同，关键不同之处在于矩

阵位移法利用了K的组合特性，解算时绕过平衡条件直接建立结构刚度矩阵。下面对此作简要说明，使读者有大致的了解。

位移法通过单元刚度方程，利用平衡条件建立位移法方程，其系数由各单元刚度方程的系数组合而成。矩阵位移法则借助各单元刚度矩阵的元素直接形成结构刚度矩阵，只要把单元刚度矩阵的元素按其附标放到结构刚度矩阵的相应位置(有一方附标为零或两方附标均为零的元素不进入)，再将同一位置的元素相加即可，故又称直接刚度法。这一过程归纳为“对号入座、同位相加”，本题按此即得

位移法结构力学知识点概念讲解

位移法是结构力学中常用的一种分析方法，通过计算结构的位移来求解结构的内力、应力和变形等问题。它的基本思想是建立结构的位移与应力之间的关系，并利用位移方程和边界条件，求解结构的位移分布，进而获得结构内力、应力和变形等信息。

1.位移概念：

结构的位移是指结构中各点相对于参考点的位置变化量。通常用向量形式表示，位移向量包含所有结构节点的位移分量。位移分量包括两个方向的位移：横向位移和纵向位移。横向位移是结构在水平方向上的位置变化，纵向位移是结构在垂直方向上的位置变化。

2.位移分布方程：

位移分布方程是描述结构位移与应力之间关系的基本方程。根据结构的力学特性和边界条件，可以建立位移方程。一般情况下，位移方程包含多个线性方程，通过求解这些方程组，可以得到结构的位移分布。常用的位移分布方程包括静平衡方程、变形方程和边界条件等。

3.静平衡方程：

静平衡方程是结构力学中最基本的方程之一，它描述结构受力平衡的条件。根据牛顿第二定律，结构的受力和位移之间存在其中一种关系。通过建立结构受力平衡的方程，可以获得结构的位移分布。

4.变形方程： 变形方程是位移法分析中的重要概念，它用来描述结构的变形与应力之间的关系。根据结构力学理论，结构受到外力作用时，会发生形变，形成内力和应力。通过建立变形方程，可以求解结构内力和应力分布。

5.边界条件：

边界条件是位移法中必须考虑的条件，它是解决位移方程的关键因素。边界条件主要包括结构的支座约束条件和结构受力边界条件。支座约束条件指明结构的一些节点固定或受到特定的位移限制，受力边界条件指明结构的一些部分受到特定的外力或力矩作用。

6.内力和应力计算：

通过求解结构的位移分布，可以计算得到结构的内力和应力。内力是指结构中各点所受的力的大小和方向，包括轴力、剪力和弯矩等。应力是指结构内部各点处的应力大小和方向，包括正应力和剪应力等。

7.变形计算：

同济大学朱慈勉 结构力学 第7章 位移法习题答案

7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。

(a) (b) (c)

EI EI EI

2EI 2EI

1个角位移 3个角位移，1个线位移 4个角位移，3个线位移

(d) (e) (f)

EI1=∞

EA EI

EI1=∞

3个角位移，1个线位移 2个线位移 3个角位移，2个线位移

(g) (h)

(i)

k

一个角位移，一个线位移 一个角位移，一个线位移 三个角位移，一个线位移

7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。

(a)

解：（1）确定基本未知量和基本结构

有一个角位移未知量，基本结构见图。

11r11Z3i4i2iii1M图

1pR213ql216qlpM图

（2）位移法典型方程 11110prZR （3）确定系数并解方程

iqlZqliZqlRirp24031831,821212111 （4）画M图

2724ql2524qlM图218ql216ql

l l l A

B C D

i i i q (b)

解：（1）确定基本未知量

1个角位移未知量，各弯矩图如下

11r11Z1M图32EIEI12EI

590pM图

（2）位移法典型方程

11110prZR （3）确定系数并解方程

1115,352prEIR

153502EIZ

114ZEI