复数代数形式的加减运算及其几何意义

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

教学目标

重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则．

难点:复数加法、减法的几何意义.

知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则;

2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．

教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.

自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.

考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题.

易错易混点：复数的加法与减法的综合应用.

拓展点：复数与其他知识的综合.

一、 引入新课

复习引入

1.虚数单位i：它的平方等于1,即2i1;

2.对于复数i,zababR：

当且仅当0b时,z是实数a;

当0b时,z为虚数;

当0a且0b时,z为纯虚数;

当且仅当0ab时,z就是实数0.

3.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.

4.复数几何意义：

我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算.

【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.

二、探究新知 复数i,zababR 复平面内的点,abZ 一一对应

一一对应

复数i,zababR 复平面内的向量=,OZabuur 探究一:复数的加法

1.复数的加法法则

我们规定,复数的加法法则如下:

设1izab,2i(,,,)zcdabcdR是任意两个复数,那么：

12(i)(i)()()izzabcdacbd

提出问题：

(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?

(2)当=0,0bd时,与实数加法法则一致吗?

(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?

学生明确:

(1)仍然是个复数,且是一个确定的复数;

(2)一致;

(3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．

【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．

2.复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?

对任意的123,,zzzC,有

1221zzzz（交换律）,

123123()()zzzzzz（结合律）.

【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．

3.复数加法的几何意义

复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗?

设12,OZOZuuuuruuuur分别与复数i,iabcd对应,则有12(,),(,)OZabOZcduuuuruuuur,由平面向量的坐标运算有

12(,)OZOZacbduuuuruuuur.

这说明两个向量12OZOZuuuuruuuur与的和就是与复数()+()iacbd对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

2(,)Zcd

1(,)Zab

由图可以看出,以1OZ、2OZ为邻边画平行四边形12OZZZ,其对角线OZ所表示的向量OZuuur就是复数()+()iacbd对应的向量.

【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思Z

O y

x 维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想.

探究二:复数的减法

类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗?

1.复数的减法法则

我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

(i)(i)icdxyab

的复数ixy叫做复数iab减去icd的差,记作(i)(i)abcd.根据复数相等的定义,有

,cxadyb,

因此

,xacybd,

所以

i()()ixyacbd,

即

(i)(i)()()iabcdacbd.

这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.

【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．

2.复数减法的几何意义

设12,OZOZuuuuruuuur分别与复数i,iabcd对应,则这两个复数的差12zz—与向量12OZOZuuuuruuuur—（即21ZZuuuur）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.

【设计意图】两个复数的差12zz—（即12OZOZuuuuruuuur—）与连接两个终点1Z,2Z,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.

三、理解新知

1.复数的加减法法则:

设1izab,2i(,,,)zcdabcdR是任意两个复数,规定：

12()()izzacbd;

12()()izzacbd. y

x 2Z 1Z

O 2.复数加、减法的几何意义：

(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则;

(2)复数的减法按照向量减法的三角形法则.

3.几点说明:

(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来;

(2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;

(3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:12dzz—.

其中12,zz是复平面内的两点1Z和2Z所对应的复数,d为点1Z和点2Z间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.

四、运用新知

例1.计算：

(1)(23i)(5i); (2)(12i)(12i);

(3)(23i)(52i); (4)(56i)(2i)(34i);

解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i;

(2)(12i)(12i)(11)(22)i0;

(3)(23i)(52i)(25)(32)i35i;

(4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i.

【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.

变式训练:

计算(12i)(23i)(34i)(45)i(19992000i)(20002001i)L.

解：（解法一）原式(12345619992000)(2345620002001)iLL

10001000i.

（解法二）(12i)(23i)1i;

(34i)(45i)1i;

…

(19992000i)(20002001i)1i.

将上列1000个式子累加,得

1000(1i)10001000i.

【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性.

例2.(1)设12,OZOZuuuuruuuur分别与复数1253i,14izz对应,计算12zz,并在复平面内作出12OZOZuuuuruuuur, (2)设12,OZOZuuuuruuuur分别与复数1213i,2izz对应,计算12zz+,并在复平面内作出12OZOZuuuuruuuur.

解：

图1 图2

(1)12=(5+3i)(14i)(51)(34)i4izz.（如图1所示）;

(2)12(13i)(2i)(12)(31)i34izz+.（如图2所示）.

【设计意图】由复数的几何意义知,复数1z,2z所对应的的点分别为12,ZZ.12OZOZuuuuruuuur就是表示向量21ZZuuuur,而12OZOZuuuuruuuur可利用平行四边形法则作出.

变式训练:

已知复数213(5)izaa,221(21)i()zaaaaR分别对应向量12,OZOZuuuuruuuur（O为坐标原点）,若向量12ZZuuuur对应的复数为纯虚数,求a的值.

答案：1a.

例3.已知关于x的方程：2(6i)9i0()xxaaR有实数根b.

(1)求实数,ab的值;

(2)若复数z满足i20zabz,求z的最小值．

解：(1)由题意,得2(6i)9i0bba,即2(69)()i0bbab.

由复数相等的定义得26900bbab, 解得3ab.

(2)设i(,)zxyxyR,

由i20zabz,得(3)(3)i2xyz,

即222(3)(3)4()xyxy,整理得22(1)(1)8xy,

即复数z在复平面内所对应的点Z(,)xy的轨迹是以C(1,1)为圆心,半径长为22的圆.

又z的几何意义是Z(,)xy与原点O(0,0)的距离,