导数与解析几何大题解题技巧

导数与解析几何大题解题技巧

参考资料一： 不等式恒成立问题中的参数求法

已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离lnx法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压轴题最常用到的方法.

一、 直接求导法

题目：当(0,1)x时，1()11axxfxex恒成立，求a的取值范围.

分析：注意()xefx型函数不分离最好,这里()fx是有理函数,它的导数为[()]()xxefxefx()[()()]xxefxefxfx，这里()()fxfx是有理函数，容易讨论其性质.

解：21121()()()()11(1)1axaxaxaxxxxfxeeeeaxxxx

22(1)[](1)1axaxexx222222(1)2[](1)(1)(1)axaxaxaxaeexxx，

由22axa可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂，

于是可以考虑分离参数a，

即222222222(1)2(1)()(1)()11axaaxxaxaxx，

注意到当(0,1)x时，22(2,)1x，所以当2a时，()0fx，()fx是增函数，所以()(0)1fxf， 当2a时，222()0(1)axaxafxex可解得20axa，即当20axa时，()fx是减函数，所以()(0)1fxf，不合题意.

综上，a的取值范围(,2].

二、二次求导法

题目：当0x时，2()10xfxexax恒成立，求a的取值范围.

分析：2()xfxkeaxbxc型函数一般用到二次求导法.

解:()12xfxeax，

()2xfxea，

因为0x，所以1xe，

当21a即12a时，()0fx，()fx是增函数，所以()(0)0fxf，所以()fx是增函数，所以()(0)0fxf；

当21a即12a时，则当0ln(2)xa时，()0fx，()fx是减函数，所以()(0)0fxf，所以()fx是减函数，所以()(0)0fxf.

所以a的取值范围1(,]2.

三、特值压缩法

题目：当2x时，2()2(1)420xfxkexxx恒成立，求k的取值范围.

分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视. 解：由2202(2)2(21)(2)4(2)20(0)2(01)04020fkefke得

2220220kek得21ke，

()2[(1)]242(2)(1)xxxfxkexexxke，

当21ke时，由()2(2)(1)0xfxxke得211[,1]ln[2,0]xeexkk，

当2ke时，显然当2x时，()0fx，()fx为增函数，从而()(2)0fxf，

当21ke时，则1ln(2,0]k，所以

当1(2,ln)xk时，()0fx，()fx为减函数，

当1(ln,)xk时，()0fx，()fx为增函数，

所以()fx的最小值为1ln21111(ln)2(ln1)(ln)4(ln)2kfkekkkk

22111112(ln1)(ln)4(ln)2(ln)2lnkkkkk

2211(ln)2ln(ln)2ln(2ln)(ln)0kkkkkk，

所以求k的取值范围是21ke.

四、分离lnx法

题目：当0x且1x时，ln1ln11xxkxxxx恒成立，求k的取值范围.

分析：把lnx分离出来可以使导数非常简单.

解： 2lnln111121()()lnln11111xxkkkxxxxxxxxxxx

2221111[2ln(1)][2ln(1)()]11kxxxkxxxxx

（这一步的目的是提取因式211x，分离出lnx，由于211x的符号不确定，所以分类讨论如下）

令设1()2ln(1)()gxxkxx，于是原题等价于

()0,(1,)()0,(0,1)gxxgxx

221()(1)(1)gxkxx，若是通分，分子是一个关于x的二次函数，讨论比较复杂，

不如再次提取21(1)x，分离参数k，这样会转化为对号函数，可谓一举两得：

于是22221121()(1)(1)(1)[(1)]11gxkkxxxxx

221212(1)[(1)](1)(1)11kkxxxxxx

令2()1hxxx，由对号函数的单调性，()hx在(1,)单调递减，

当1x时，12xx，从而()(0,1)hx，所以当(1)1k，

即0k时，()0gx恒成立，从而()gx为增函数，所以()(1)0gxg恒成立；

当0k时，(1)1k，所以存在01x，使得当0(1,)xx时，()0gx，从而()gx为减函数，所以()(1)0gxg，不合题意.

同理可讨论当01x时， 仍然是0k时，()0gx恒成立，从而()gx为增函数，所以()(1)0gxg恒成立；

当0k时，(1)1k，所以存在0(0,1)x，使得当0(,1)xx时，()0gx，从而()gx为减函数，所以()(1)0gxg，不合题意.

综上，0k

五、重构函数法

题目：(1)0xeaxb恒成立,求(1)ab的最大值.

分析：构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型.

解:令()(1)xfxeaxb,则()(1)xfxea

（1）当10a时,()0fx,()fx在R上单调递增，当x时，()fx，不合题意.

（2）当10a时，则当ln(1)xa时，()0fx，()fx是减函数，

当ln(1)xa时，()0fx，()fx是增函数，

所以当ln(1)xa时，min()(ln(1))1(1)ln(1)0fxfaaaab，

所以1(1)ln(1)baaa，所以22(1)(1)(1)ln(1)abaaa，其中10a，

令22()ln(0)gxxxxx，则()2(2ln)(12ln)gxxxxxxx，

当0xe时，()0gx，()gx是增函数，

当xe时，()0gx，()gx是减函数，

所以当xe时，max1()()22egxgeee， 所以(1)ab的最大值是2e.

六、解不等式法

题目：设函数2()mxfxexmx．

（1）证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；

（2）若对于任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfxe，求m的取值范围．

分析：求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式．

解：（1）()2mxfxmexm，2()2mxfxme，

因为2()20mxfxme，所以()2mxfxmexm在R上是增函数，注意到(0)0f，

所以当0x时，()(0)0fxf，当0x时，()(0)0fxf，

所以()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增.

（2）由（1）可知，()fx在[1,1]上的最小值为(0)1f，()fx的最大值是(1)1mfem

和(1)1mfem，所以12|()()|fxfx的最大值为mem 或 mem ，

所以只要 1meem 或 1meem ，

令 ()mgmem ，则 ()1mgme ，

当0m时，()0gm，()gm是减函数，

当0m时，()0gm，()gm是增函数， 而(1)1ge，1(1)1ge，且(1)(1)gg，所以存在01m，使得0()(1)gmg，

所以由1meem即()(1)gmg可得

01mm，其中01m ①

而1meem即()(1)gmg，所以01mm，

即01mm，其中01m，②

由①、②得11m.

七、设而不求法

已知函数()2xxfxeex，

（1）设(2)4()gxfxbfx，当0x时，()0gx，求b的最大值，

（2）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）

分析：设而不求那些不容易求出的极值点.

解：（1）22()44(2)xxxxgxeexbeex，

222(2)4(2)xxxxgxeebee，

令xxeet，则2222xxeet，

所以2()2(4)4(2)(2)(22)(2)[(22)]gxtbtttbttb，

注意到22(0)xxxxteeeex，

所以当222b即2b时，()0gx，()gx为增函数，所以()(0)0gxg， 当2b时，存在00x，当0(0,)xx时，()0gx，()gx为减函数，所以()(0)0gxg，不合题意，所以b的最大值2.

（2）考虑2ln22ln2ln2ln2(ln2)4ln24(2ln2)geebee

23122ln24(2ln2)22(42)ln2222bbb，

由（1）知道，当2b时，3(ln2)222(422)ln202g，

所以421.541.41421.5ln20.692866，

那么，下一步如何再取b的值呢？这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的

0xx这个分界点满足的条件，可以考虑ln2x满足(22)0xxeeb，

考虑到满足等号成立的b的值，ln2ln2(22)0eeb，解得3214b，

则由（1）知，

当3214b时，32323(ln2)22(1)[4(1)2]ln20244g，

所以182181.4143ln20.69342828，

所以0.6928ln20.6934，所以ln20.693.