高等数学初等函数

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

222212211cos12sinududxxtguuuxuux，　，　，　 axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式：

三角函数：正弦函数sinx；余弦函数cosx；

正切函数sintancosxxx；余切函数coscotsinxxx；

正割函数1seccosxx；余割函数1cscsinxx

·诱导公式：

函数

第一章 函数、极限与连续

§1.1 初等函数

在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，而函数的概念是变量间依赖关系在数学中的反映，函数的概念是微积分研究的主要对象。下面我们首先复习和归纳中学数学中关于函数的知识，然后引入初等函数的相关概念。

一 邻域

邻域是一个经常用到的概念，以前我们学习过区间，那么什么是邻域呢？下面我们用区间来说明邻域的概念。设有两个数,a且0，则称实数集xxa为点a的邻域。记为(,)Ua，即(,)Uaxxa，a—(,)Ua的中心，—(,)Ua的半径。用图形表示为

如果再把这邻域的中心a去掉,就称它为a的去心邻域,记作(,)Ua,即

 0 ),(axxaU。

为了方便起见，称开区间,aa为点a的左邻域，称,aa点a的右邻域。

这里邻域的半径虽然没有规定其大小,但在使用中一般总是取为很小的正数．并且大多数情形下并不一定要指明的大小,这时我们往往把a的邻域和a的去心邻域分别简化为()Ua和()Ua。

二 函数的概念

在具体研究某一自然现象或实际问题的过程中,我们还会发现问题中的变量并不是独立变化的,它们之间往往存在着相互依赖关系．为了说明函数的概念，我们首先看两个例子;

例1 自由落体问题

一个自由落体,从开始下落时算起经过的时间设为t(秒),在这段时间中落体的路程设为s(米)．由于只考虑重力对落体的作用,而忽略空气阻力等其它外力的影响,故从物理学知道s与t之间有如下的依赖关系

212sgt (1)

其中g为重力加速度(在地面附近它近似于常数,通常取9.8g米秒2)．

如果落体从开始到着地所需的时间为T,则变量t的变化范围(或称变域)为

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第一章 函数、极限与连续

1.1 函数与初等函数——初等函数

1 教学目标设计

1.1 知识与技能目标

掌握基本初等函数及其性质；掌握复合函数的概念，理解初等函数的概念。

1.2 能力与思维目标

会画基本初等函数的图形；能将复合函数分解成基本初等函数和简单函数；

1.3 情感态度与价值观目标

通过本课程学习，学生在数形结合方面受到了一定的训练，数学的抽象性、逻辑性与严密性等方面受到了一定的熏陶，为后续学习奠定了可持续发展的基础。

2教学重难点及处理措施

2.1 教学重点及处理措施

教学重点：复合函数；

处理措施：通过案例讲解。

2.2 教学难点及处理措施

教学难点：复合函数分解成基本初等函数和简单函数；

处理措施：通过案例讲解。

3本次课程教学流程及教学媒体与资源选择

3.1 本次课程的教学流程

（1）知识回顾；

（2）讲授新课（基本初等函数，复合函数，初等函数）；

（3）内容小结；

（4）布置作业。

3.2本次课程教学媒体与资源选择

多媒体，黑板、粉笔、教科书

4 教学内容及教学活动的详细安排

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表1 教学内容及教学活动

教学过程 教师活动 学生活动 设计意图

一、知识回顾

采用提问的方式带领学生复习上次课的主要内容。

1.函数的概念是什么？

2.确定函数定义域应注意几点？

3.函数都有哪些基本特性？

思考

回答

问题

复习巩固

二、新课

1.基本初等函数

2.复合函数

1.基本初等函数（课件展示，板书辅助）

（1）熟记：六种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。

幂函数:

yx  (R是常数);

1 章节题目 第四节 初等函数的求导问题、双曲函数与反双曲函数的导数

内容提要 常数和基本初等函数的导数公式

函数的和、差、积、商的求导法则

复合函数的求导法则

双曲函数与反双曲函数的导数

重点分析 求初等函数的导数（按常数和基本初等函数的求导公式）

难点分析 利用求导公式求复合函数的导数

习题布置 121P：3（单）

备注 2 教 学 内 容

一、初等函数的求导问题

1.常数和基本初等函数的导数公式

xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2

xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21

axxaaaaxxln1)(logln)(

xxeexx1)(ln)(

2211)(arctan11)(arcsinxxxx

2211)cot(11)(arccosxxarcxx

2.函数的和、差、积、商的求导法则

设u=u(x), v=(x) 可导，则

'''))(1(vuvu, (2) '')(cucu c是常数

(3) ''')(uvvuuv (4) 0)(2'''vvuvvuvu

3.复合函数的求导法则

).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设

利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.

注意:初等函数的导数仍为初等函数.

例1.的导数求函数xxxy

解：)(21xxxxxxy

))(211(21xxxxxxx

))211(211(21xxxxxx 3 .812422xxxxxxxxxx

例2.)](sin[的导数求函数nnnxfy