高中数学必修二 (教案)用样本估计总体

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用样本估计总体

【第一课时】

【教学目标】

1．会画一组数据的频率分布表、频率分布直方图.

2．会用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体进行估计.

3．掌握求n个数据的第p百分位数的方法.

【教学重难点】

1．频率分布表、频率分布直方图.

2．用样本估计总体.

3．总体百分位数的估计.

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？

2．频率分布直方图有哪些特征？

3．如何求n个数据的第p百分位数？

二、基础知识

1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

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2．百分位数

（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

（2）计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i＝n×p%．

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

三、合作探究

1．频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制

角度一：频率分布表、频率分布直方图的绘制

为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：

57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48

将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．

【解】以4为组距，列表如下：

分组 频率累计

频数

频率

[41.5，45.5) 2 0.045 5

[45.5，49.5) 7 0.159 1

[49.5，53.5) 8 0.181 8

[53.5，57.5) 16 0.363 6

[57.5，61.5) 5 0.113 6

[61.5，65.5) 4 0.090 9

[65.5，69.5) 2 0.045 5

频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．

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（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：

①若极差组距为整数，则极差组距＝组数；

②若极差组距不为整数，则极差组距的整数部分＋1＝组数．

（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本量越大，所分组数越多．

角度二：频率分布直方图的应用

为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．

（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？

（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？

（3）样本中不达标的学生人数是多少？

（4）第三组的频数是多少？

【解】（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08．

又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本量，

所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.

（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. 4 / 13

（3）由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12．

所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．

（4）第三小组的频率为172＋4＋17＋15＋9＋3＝0.34．

又因为样本量为150，

所以第三组的频数为150×0.34＝51．

频率分布直方图的应用中的计算问题

（1）小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率；

（2）各小长方形的面积之和等于1；

（3）频数样本量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本量，样本量×频率＝频数．

2．条形统计图

为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．

请根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）求抽取的学生数；

（2）若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；

（3）估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．

【解】（1）从统计图上可以看出，

喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；

喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；

喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；

喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人； 5 / 13

喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．

所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．

（2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为106300，

由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有106300×3 000＝1 060(人)．

（3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为45300×100%＝15%.

（1）绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．

实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精确．

（2）在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．

3．折线统计图

小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．

根据图中的信息，回答以下问题：

（1）护士每隔几小时给小明测量一次体温？

（2）近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？

（3）从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？

（4）如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？

【解】（1）根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．

（2）从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度． 6 / 13

（3）从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．

（4）9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．

（1）绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可．

（2）在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．

4．扇形统计图

下图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：

（1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？

（2）已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？

【解】（1）不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．

（2）设A学校收到艺术作品的总数为x件，B学校收到艺术作品的总数为y件，则10%x－5%y＝20，50%y－40%x＝100，解得x＝500，y＝600，即A学校收到艺术作品的总数为500件，B学校收到艺术作品的总数为600件．

（1）绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．

（2）扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据． 7 / 13

5．百分位数的计算

现有甲、乙两组数据如下表所示．

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 15 16

17 18 19 20

甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8

8 9 10 10 12 13 13

乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15

试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．

【解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．

因此，甲组数的25%分位数为x5＋x62＝2＋32＝2.5；

甲组数的75%分位数为x15＋x162＝9＋102＝9.5．

乙组数的25%分位数为x5＋x62＝1＋12＝1，乙组的75%分位数为x15＋x162＝10＋142＝12．

求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．

【课堂检测】

1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )

解析：选D．用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．

2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为( )