钟表上的数学问题

表上的角度问题钟表上的角度问题

在学习过程中,我们常会遇到与钟表上的角度有关的数学问题,部分学生在解决这类问题时感到困难大,若能仅从时针,分针转动所成的角度入手解决则较容易.

我们知道,时针,分针转动一周都经过12大格或60小格.因此,每小时时针转动30°,每分钟分针转动6°.这样我们可以分别计算时针,分针转动的角度,然后求解.下面就常见的类型加以说明.

一,求时针,分针的夹角.

例1在5点整时,时针与分针所成的夹角是多少度

解:5点整时,时针转过了30°×5=150°,分针转过为0°,其度差为150°-0°=150°,∴时针与分针的夹角是150°.

例26点40分时,时针与分针的夹角是多少度

解:6点40分时,时针转过了(6+)×30°=200°,分针转过了40×6°=240°,其度差为240°-200°=40°,∴时针与分针的夹角是40°.

例31点54分时,时针与分针的夹角是多少度

解:1点54分时,时针转过了(1+)×30°=57°,分针转过54×6°=324°,其度差为324°-57°=267°.(大于180°)∴时针与分针的夹角是360°-267°=93°.

二,求时针与分针的重合时间.

例412点后,时针与分针何时首次重合

解:时针与分针重合其度差为0°,若设x时y分时针与分针重合,则时针转了,分针转了6y度,则有.整理得,当x=1时,得.所以时针与分针首次重合为1分. 例5在3点至4点间,时针与分针何时重合

解:设3点y分时,时针与分针重合,则时针转过,分针转了6y度,则有.解得,所以时针与分针在3点分重合.

三,求时针,分针成一直线的时间.

例62点后,时针与分针最快要多长时间可成一条直线

解:设再经过y分钟,时针与分针成一条直线,则时针转过度,分针转了6y度.故有,解得.

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钟表上的追及问题

例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。解析：分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：

一. 格数法

钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转112分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。

解析 （1）设3点x分时，时针与分针重合。

则分针走x个分格，时针走x12个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程xx1215，解得x16411。所以3点16411分时，时针与分针重合。

（2）设3点x分时，时针与分针成平角。

因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程xx1245，解得x49111。所以3点49111分时，时针与分针成平角。

（3）设3点x分时，时针与分针成直角。

此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程xx1230，解得x32811。所以3点32811分时，时针与分针成直角。

二. 度数法

对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。

钟表上的角度问题看似复杂，但概括起　来无外乎两种情况：一是单针转过的角度问　题：二是分针、时针的夹角问题．只要同学们　认真学习，其解题要领是很容易掌握的．下　面分别介绍这两种情况．　一、单针转过的角度问题（单针是指时　针或分针）　因为钟表上的小格将表盘平均分成６０　份，每一份（即一小格）对应６。，每一格（１格　等于５份）对应３０。，所以分针转过的角度等　于分针转过的份数（也是分钟数）乘以６。，时　针转过的角度等于时针转过的格数乘以　３０。．　例１从２点３０分到２点５５分，钟表　的分针转过的角度是——度；从２点１５　镣　羲　分到５点３０分，钟表的时针转过了——　度．　分析：本题的两个问题都是求单针转过　的角度．因为从２点３０分到２点５５分，分　针共转过５５－－３０＝２５（份），所以分针转过　的角度为２５ｘ６。＝１５０。；从２点１５分到５点　３０　，时针共转过了５　３０一二丽１５＝５．５—　２．２５＝３．２５（格），所以时针转过的角度为　３．２５ｘ３０。＝９７．５。．　解：１５０；９７．５．　二、分针与时针的夹角问题　为方便叙述，先设定本情形中涉及到的　三个量，时针的点数用ｄ表示，分针的分钟　数用．厂表示，两针的夹角度数用　表示．下　≯　彘　糜、　山东　陈

亮　面，我们来探索ｄ、厂、Ｏ／这三个量之间的关　系．　因为钟表的时针１２个小时转一圈，分　针１个小时转一圈，所以分针的速度是时针　的１２倍．分针每分钟转的度数是６。，则时针　每分钟转的度数为　ｘ６。＝０．５。，分针与时针　上　每分钟夹角变化的度数就是６。－－０．５。＝５．５。．　假设ｄ点．厂分时两针的夹角为　度，我们以　整点ｄ为基准，分针、时针夹角的度数显然　等于分针、时针转过的角度之差．分针厂分　钟转６厂度，时针　分钟就转　×６ｆ度．如　■二　果分针在前，则：　Ｏ／＝６，一（３０ｄ＋０．５厂），即　＝５．５－厂一　３０ｄ；　如果时针在前，则：　＝（３０ｄ＋０．５ｆ）一６　即ｏ￣－３０ｄ－－５．５ｙ．　总之．无论是分针在前还是时针在前，　都有　＝ｌ　３０ｄ一５．５厂｛．　这就是求分针与时针夹角度数的公式，　知道ｄ、　Ｏｔ中的任意两个量就可以求出第　三个量．　例２钟表在１点２０分时，它的时针与　分针所成的角是——度．　解：由题意知ｄ＝１，ｆ＝ｅｏ，　＝Ｉ　３０ｘｌ－－５．５ｘ２０　ｌ＝８０，故填８０．　例３钟表在５点过多少分时，分针与　时针的夹角为９０。？　程的　已知　用方　程的思想解题．　解：设钟表在５点过－厂分时，分针与时　针的夹角为９０。，由题意知ｄ＝５，ｏ￣＝９０，于　是可得方程Ｉ３０ｘ５－－５．５ｆｌ＝９０．　解得　＝　－ｌ０ＴＴ１０，　一４８０－４３７．　答：钟表在５点１０＿ｉ１０１　或．５点４３　分　时，分针与时针的夹角为９Ｏ。．　例４在１点至２点之间的什么时刻，　钟表的分针与时针重合？　分析：指针重合问题，实质是分针与时　针夹角为０。的特例．　解：设在１点过厂分时，钟表的分针与　时针重合，根据题意得ｌ　３０￣１－－５．　ｌ＝０．　解得　：５吾．　例５如图是一块手表，早上８点钟时　针与分针的位置如图所示，那么分针与时针　所成的角的度数是（　）．　④　Ａ．６０。　Ｂ．８０。　Ｃ．１２Ｕ　Ｄ．１５Ｕ　解析：求整点时刻分针与时针的夹角，　只需数出两针之间（小于平角）的格数，然后　用格数乘以３０。即可．　因为整点时刻分针与时针的夹角度数　等于两针问的格数乘以３０。，而本题两针间　的格　ｌ２０。．

钟表问题集锦

钟表问题集锦

1．某钟表,在7月29日零点比标准时间慢4分半,它一直走到8月5日上午7时,比标准时间快3分,那么这只表所指时间是正确的时刻在___月___日___时.

2.小明家有两个旧挂钟，一个每天快20分，另一个每天慢30分。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？

3.一辆汽车的速度是70千米／时，现有一块每2时慢1分的表，如果用这块表计时，那么测得这辆汽车的时速是多少？（保留一位小数）

4.某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分（如右图所示）。当这只钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？

5.手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分几秒？

6.有一旧闹钟，每时快4分，如果在上午9点将闹钟拨准，那么当闹钟显示12点整时，实际是什么时间（精确到秒）？

7.高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走的不正常，每个白天快分，每个夜晚慢分。如果在10月1日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快3分？

8.一个快钟每时比标准时间快1分，一个慢钟每时比标准时间慢3分。将两个钟同时调到标准时间，结果在24时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整。此时的标准时间是多少？

9.爷爷的老式时钟的时针与分针每隔66分重合一次。如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时钟再次指示8点时，实际是几点几分？

10.89爷爷的老式时钟一点也不准，它的时针与分针每隔61分重合一次。问：这只时钟每天快或慢多少分？

11.小明上午8点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨6点10分就停了，他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了10分。中午12点放学，小明回到家一看钟才11点整。如果小明上学、下学在路上用的时间相同，那么，他家的闹钟停了多少分？