巧解钟表问题
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巧解钟表问题
在竞赛中,同学们常常会碰到“分针与时针夹角”的这类复杂性的试题,有些同学在做这类题目时总感到无从下手,这里我来给大家介绍一种解题的捷径,希望对大家能有所帮助。
大家都知道,钟面一周被等分成60个小格,每个小格对应的角度为=6°。分针每分钟转一格,y分钟转动y小格;由于当分针转动60格时,时针转5小格,那么每分钟时针转=y小格,y分钟即转动y小格。另外,时针每小时转动5小格,那么x小时转动5x小格。所以,时针在x小时y分钟里共转(5x+y)小格,要想求出时针与分针夹角的度数,就得知道它们之间间隔多少小格。通过观察钟表我们很容易得到参考文献[1]中所列出的四个计算时针与分针夹角度数的计算公式,根据这四个公式我们可整理得:
例如x时y分,其中x=0,1,2,…,11,y=0,1,2,…,59。
(1)按顺时针转动,两针夹角小于平角时,其夹角计算公式为:|30x-5.5y| °(Ⅰ)
(2)按顺时针转动,两针夹角大于平角时,其夹角计算公式为:360°-|30x-5.5y| °
(Ⅱ)
我们发现用公式(Ⅰ)、(Ⅱ)去求某一时刻时针与分针的夹角的度数已无须考虑时针在前还是分针在前了,但是,还须考虑两针的夹角是否大于平角。那么,能否找到一个无须判断两针夹角是否大于平角的公式呢?借于这样的出发点,经过反复思考与探索,综上(Ⅰ)、(Ⅱ)可得:
〈x,y〉=180°-|180°-|30x-5.5y|°| (Ⅲ)
其中x=0,1,2,…,11,y=0,1,2,…,59,〈x,y〉表示x时y分时两针的夹角。
下面结合具体例题谈谈公式的应用:
1根据具体时刻求时针与分针夹角
例1:(1)当时间是2点32分时,时针和分针的夹角是______度。
(2)当时间是2点50分时,时针和分针的夹角是______度。
解法一:(1)时针每小时转动1大格,即30°,所以每分转0.5°,而分针每分转6°,当时针指向整点时,分针指向12时。因此,我们以指向12点作为角的始边,在2点32分时,时针与12点构成的角度是2×30°+3×20.5°=76°,分针与12点构成角度是32×6°=192°,从而,2时32分时,时针与分针的夹角是192°-76°=116°。
(2)当时针与分针所转过的角度差大于180°,这需要用360°减去这个角。例如:2点50分时,按上述方法求得的角是6°×50-(30°×2+0.5°×50)=300°-85°=215°,显然不合要求,其夹角应为300°-215°=145°。
解法二:(1)依题意x=2,y=32时,代入计算公式(Ⅲ)
180°-|180°-|30x-5.5y|°|
=180°-|180°-|30×2-5.5×32|°|
=180°-|180°-116°|
=116°
(2)依题意x=2,y=50时,代入计算公式(Ⅲ)
180°-|180°-|30x-5.5y|°|
=180°-|180°-|30×2-5.5×50|°|
=180°-|180°-215°|
=145°
评注:通过解法一、二的比较,我们可以看出,对于确定的时间,例如:x时y分时,其分针与时针的夹角可用x,y的表达式来表示。这样,在解决这类填空题的过程中存在两大优点:一,节省分析时间,直接代入公式;二,避开讨论时针与分针转过的角度差是否大于180°。
2根据时针与分针的夹角求具体时刻
(1)求时针与分针重合的时间。
例2:时针与分针在4时几分重合。
解:∵时针与分针重合时,时针与分针的夹角为0°
∴当x=4是,根据公式(Ⅰ)
|30x-5.5y|°=0°
30°×4-5.5°y=0°
y=21
∴时针与分针在4时21分重合。
(2)求时针与分针成一直线的时间。
例3:3时几分时,时针与分针成一直线。
解:∵时针与分针成一直线时,时针和分针的夹角为180°
∴当x=3时,根据公式(Ⅰ)
|30x-5.5y|°=180°(0≤y<60)
5.5°y-90°=180°
y=48
∴3时48分时,时针与分针成一直线。
(3)求时针与分针成90°角的时间。
例4:1时几分时,时针与分针成90°角
解:时针与分针成90°角时,分两种情况:
1、按顺时针转动,时针与分针的夹角小于平角.即两针成90°
2、按顺时针转动,时针与分针的夹角大于平角.即两针成270°
∴|30x-5.5y|°=90°或|30x-5.5y|°=270°(0≤y<60)
5.5°y-30°×1=90°
5.5°y-30°×1=270°
即y=21 y=54
∴在1点21分或1点54分时,时针和分针成角90°。
评注:这部分简易的应用题实质上是行程问题,如果我们利用时针与分针夹角的计算公式(Ⅰ)、(Ⅱ)就会大大减少分析过程中带来的麻烦,达到事半功倍的效果。
3竞赛中的钟表试题
例5:钟面上从2时到4时,有几次时针与分针夹成的角?分别是几时几分?(江苏省初中数学竞赛辅导教材初一分册)
解:共有4次,当2时～3时有2次,3时～4时有2次。
因60度是小于平角,故我们可用公式(Ⅰ)
(1)当2时～3时,把x=2代入公式(Ⅰ)中,
|30x-5.5y|°=60°
30°x-5.5°×y=±60°
∴30°×2-5.5°×y=60°或30°×2-5.5°×y=-60°
即y=0或y=21
∴当2时～3时之间有2时整和2时21分。
(2)当3时～4时,把x=3代入公式(Ⅰ)中,
|30×3-5.5y|°=60°
30°×3-5.5°×y=±60°
∴30°×3-5.5°×y=60°或30°×3-5.5°×y=-60°
即y=5或y=27
∴当3时～4时之间有3时5和3时5分。
所以,在2时～4时之间有2:00,2:21,3:5,3:27
像这类钟表问题看似很难,没有头绪,但只要去认真思考,去探索,总能找到一些规律性的东西。这正如上面所归纳出的公式,会给我们今后的解题带来很大的帮助。
