圆柱和圆锥教材分析

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【第二单元圆柱和圆锥】

本单元在学生认识了圆，掌握了长方体和正方体的形状特征以及外表积与体积计

算方法的根抵上编排，是小学数学最后教学的形体知识。

与长方体、正方体一样，圆柱和圆锥也是根本的几何形体，在日常生活和生产劳

动中时常能够看到这些形状的物体。教学圆柱和圆锥，能够扩大学生认识几何形体的

围，丰富对形体的认识，有利于解决更多的实际问题。教学圆柱和圆锥，也能够丰富

学生认识几何形体的活动经历，深入理解体积的意义和常用的体积单位，有利于完善

认知构造，开展空间观念。教学圆柱和圆锥，还能够给学生提供探索外表积和体积计

算公式的时机，有利于转化能力和推理能力的进一步提高。全单元编排五道例题，具

体安排见下表：

例 1 圆柱、圆锥的形状特点

例 2 圆柱的侧面积

例 3 圆柱的外表积

例 4 圆柱的体积

例 5 圆锥的体积

从表格里可以看到，全单元的教学容大致由三局部组成:认识圆柱和圆锥，了解它 们的形状特点；理解圆柱的侧面积与外表积的含义，计算圆柱侧面积和外表积的方 法；理解圆柱和圆锥体积的意义，计算圆柱和圆锥体积的公式。由于圆锥的外表展开 图是一个扇形和一个圆的组合，相比照拟复杂，所以小学数学不教学扇形的面积，即 本单元不涉及圆锥的侧面积和外表积。

从表格里还能看到，教学圆柱和圆锥的容编排，与教学长方体和正方体差不多。

这就使本单元的教学，可以充分利用以前教学长方体和正方体的方法与经历，提高效

率，让学生在各个方面都得到较好的锻炼。

〔一〕 子细观察、动手操作、充分交流，了解圆柱和圆锥的形状特点，建立相应

的形体概念

教材编排一道例题，先后教学圆柱和圆锥的形状特点。这样安排出于两个原因：

一是学习圆柱和圆锥的起点不同，二是认识圆柱和圆锥的难度不同。学生在第一学段

已经直观认识了圆柱，通过滚一滚、堆一堆、摸一摸等活动，对圆柱的形状有了一些

粗浅的感受。这是他们继续认识圆柱的起点，而学习圆锥就没有这样的台阶。相对于

认识圆柱来说，了解圆锥会稍难些。首先，圆柱有两个圆形底面，圆锥是一个底面、

一个顶点，感受圆柱侧面是曲面比拟容易，感受圆锥侧面是曲面稍难些。其次，圆柱

的高是它两个底面之间的距离，比拟容易表示和测量。圆锥的高是它顶点到底面的距 -

离，表示或者测量都要难些。可见，把认识圆柱和圆锥的教学适当分开，先圆柱、后圆 锥，是比拟好的编排。像这样先“易〞后“难〞，先“熟〞后“生〞，有利于教学突

出重点。把圆柱的认识与圆锥的认识编排在一道例题里教学，也表达了它们既是不同

的几何体，也有在联系。它们的联系，一是“都有圆形底面〞，二是“圆锥体积是等

底等高圆柱的三分之一〞。

教学圆柱，从识别圆柱形物体开场。因为日常生活中有许多圆柱形状的物体，学

生已有识别的能力。通过识别，不仅引出了学习容，而且能体味学习圆柱的现实意

义。例题的图片里，有些物体是圆柱形的，有些物体是圆锥形的。圆柱形的物体中，

有的横放、有的竖摆；有的很高、有的很矮。这就为教学圆柱提供了丰富的感性材

料。

教学圆柱的形状特点，要引导学生观察、操作、交流，教师适时给出必要的讲

解。因为圆柱的形状需要学生充分感知，有关圆柱特点的数学术语和规表述不是他们

发现创造，而是意义承受的。三个小卡通的交流，代表学生通过观察、操作，获得的

有关圆柱的感性认识，也是圆柱的最主要特点。学生通常对圆柱“上下两个面是彻底

一样的两个圆〞“有一个曲面〞这两点比拟关注，对圆柱“上下一样粗〞容易疏忽， 教学要注意这一点。在学生交流圆柱特征的过程中，教师可以相机指出圆柱上、下两

个面叫作圆柱的“底面〞，围成圆柱的曲面叫作“侧面〞；及时呈现圆柱的几何图 形，在图形上标出底面和侧面。这是匡助学生建立圆柱概念的重要步骤。教师还应该 告诉学生，圆柱两个底面之间的距离叫作高，并在圆柱的几何图形上标出高，直观表

达高的数学含义。同时，也让学生想想测量圆柱高的方法。

以往，有些课堂上强调圆柱有“无数〞条高。这出于可以在圆柱的侧面上或者圆柱 的部，可以任意选择位置表示出圆柱的高。其实圆柱的“高〞是一个数学概念，指的 是圆柱两个底面之间的距离。人们可以在适当的位置上表示圆柱的高，在方便的位置 上测量圆柱的高。教学应该突出的是关于圆柱高的概念，关于圆柱图形上表示高的方 法，以及测量圆柱形物体的高的方法。没有必要在“几条〞上纠缠不清，特殊不能造 成概念的含糊。

教学圆锥，从圆锥形状的物体引入。由于学生首次接触圆锥，教材指着沙堆、屋

顶等图片，告诉他们“这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥〞。认识圆锥的学习方

式与认识圆柱相似，也是一边观察、操作、交流，一边承受教师的讲解。要引导学生

把认识圆柱的学习活动经历迁移到认识圆锥上来，在观察圆锥形物体的根抵上抽象出

圆锥的几何图形；在交流圆锥特征的过程中认识圆锥的顶点、底面和侧面。圆锥的高

是教学难点。因为圆锥的高是圆锥部一条线段的长。教材图文结合，指出从圆锥的顶

点到底面的距离是圆锥的高，并在圆锥的几何图形上用虚线画出从顶点到底面圆心的

线段，匡助学生理解圆锥高的含义。教学圆锥的高，除了准确而精练的讲解，还要给

学生体味和化的时机。可以让他们指着圆锥形实物或者圆锥的几何图形，说说什么是圆 锥的高，并且想方法量出圆锥形物体的高。 -

例 1 的“练一练〞提供了九个物体的图片，要求找出其中圆柱形状的物体和圆锥

形状的物体。教学这道题，不仅要让学生区分哪些物体是、哪些物体不是，还要引导

他们说出理由。特别对上口小、下底大的杯子，两个底面虽然一样但两底之间粗细不

同的鼓等等，指出它们不是圆柱或者不是圆锥的原因，以加强对圆柱和圆锥形状特点

的体验。

练习二第 1 、2 、3 题配合例 1 的教学。练习设计十分重视空间观念的培养，有很

强的操作性。特别是第 2 题，要求从前面、右面、上面观察圆柱和圆锥，通过立体图

形与平面图形、曲面与平面的相应转化，加强对圆柱和圆锥特征的体验。特殊是从正

面和侧面观察圆柱或者观察圆锥，看到的图形一样；从上面观察圆锥，看到一个圆以及 它中心的一个点。能使头脑里的圆柱、圆锥表象更加清晰。第 3 题要求利用教科书附 页里的图形做一个圆柱和一个圆锥，体味圆柱的侧面是长方形卷成的，圆锥的侧面是 扇形卷成的，经历平面变成曲面的过程。同时，做出一个圆锥只要一个圆，做出一个 圆柱需要两个同样大小的圆，再次体味了圆柱和圆锥的特征。测量做出的圆柱和圆锥 的底面半径与高，可以再次稳固高的概念，也能为接下来教学外表积和体积作些准 备。

〔二〕 展开圆柱的侧面与外表，探索侧面积与外表积的计算方法

圆柱是两个同样大小的圆和一个曲面围成的立体，它的外表积是侧面积与两个底

面积的总和。圆柱的侧面展开是什么形状？侧面积怎样计算？这些都是新知识。为

此，教材先安排例 2 教学圆柱的侧面积，再在例 3 里教学圆柱的外表积。

例 2 要求计算圆柱形罐头侧面的商标纸的面积。学生在这个问题情境里会产生把

商标纸剪开后看看、算算的想法，这正是教材期望的学习活动。例题的教学分三步安

排：第一步由“白菜〞卡通指导学生“沿着接缝把商标纸剪开，展开后看看是什么形

状〞，让他们通过这些操作，发现商标纸展开后是长方形，从而理解圆柱的侧面展开

图是一个长方形。教学这一步，要组织学生讨论“为什么沿着接缝剪？〞弄明白沿着

其他地方剪也能把商标纸展开，但得到的不一定是长方形，计算长方形的面积比计算

其他图形的面积方便。还要组织学生讨论“商标纸的接缝相当于圆柱的什么？〞弄明

白沿着接缝剪相当于沿着圆柱的一条高剪，而这样做才干使侧面展开成一个长方形。

第二步研究长方形的长与宽在圆柱上各是什么。因为计算长方形面积需要知道它的长

与宽，而在圆柱上只知道底面直径和高，必须沟通长方形的长、宽和圆柱的直径、高

之间的联系，为计算侧面积创造条件。教学这一步应该让学生明白研究什么、为什么

研究，带着积极的心向去寻觅联系。还要让学生面对长方形围成圆柱的侧面、圆柱侧

面展开成长方形的现象，理解长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。由

此得出圆柱的侧面积等于底面周长乘高。第三步列式计算商标纸的面积，即计算圆柱

的侧面积。这一步要求学生独立完成。教师要指导他们分步计算，先算出圆柱的底面

周长〔侧面展开的长方形的长〕，再计算圆柱的侧面积。分步列式计算能减少错误，

比列综合算式方便。还要支持学生使用计算器，没有必要把大量的时间和精力放在繁 -

琐的乘法笔算上。教材还指出“〔商标纸的面积〕也可以这样计算： 11 π×15=165 π〞，省略 165×3.14 的笔算，用 165π作为最后的得数。这与中学数学是接轨的，会 受到教师和学生的欢送。

例 4 教学圆柱的外表积，关键在于建立外表积的概念。只要理解“求外表积〞就

是求什么，算法自然就产生了。而且长方体与正方体外表积的概念和算法，对教学圆

柱外表积有支持作用。例题按如下的思路编写，大致分两步教学。第一步要求在方格

纸上画出一个圆柱的外表展开图。这个圆柱的几何图形上标出了底面直径 2 厘米、高 2

厘米，要求学生看着圆柱图形和标注的底面直径与高，思量圆柱的侧面沿着高展开，

得到的长方形长和宽各是多少厘米，两个底面分别是多大的圆，并在方格纸上画出一

个长方形和两个圆，即这个圆柱的外表展开图。画出的图形能直观展示外表积的含

义：圆柱侧面积与两个底面积的和，是圆柱的外表积。这既是外表积的概念，也是计

算外表积的方法。和长方体、正方体的外表积计算一样，圆柱的外表积计算也不给出

公式，让学生在理解外表积意义的根抵上推理算法，以防止记忆公式的负担。第二步

计算例题呈现的圆柱的外表积。由于计算圆柱侧面积的方法已在例 2 教学，计算两个

底面圆的面积是旧知识，学生应该能独立计算圆柱的外表积。教师仍然要提醒他们列

分步算式解答，通常先算出侧面积，再算出一个底面的面积，然后算侧面积与两个底

面积的和。学生如果用 4π表示侧面积，用2π表示两个底面圆的面积，用6π表示外 表积，应该加以肯定。

计算圆柱的侧面积或者外表积，普通都圆柱的高，还要底面的直径〔或者半径、周 长〕。接着例 3 编排的“练一练〞给出的底面条件有直径、有半径、也有周长等各种 情况，要匡助学生激活有关圆的知识和经历，并正确应用到计算圆柱的侧面积和外表 积上面。

练习二第 4~12 题，应用圆柱侧面积和外表积知识解决实际问题。习题编排分三个 层次：第 4 、5 两题的练习重点是把实际问题抽象成数学问题，求制作队鼓的铝皮面积 是计算圆柱的侧面积，求制作队鼓的羊皮面积是计算两个底面积的和，求做一个油桶 需要的铁皮是计算圆柱的外表积。第 6 题有整理知识和思路的作用。通过填表匡助学 生进一步区分圆柱的侧面积、底面积、外表积三个不同的概念和不同的算法；整理侧 面积、底面积与外表积之间的联系，使计算圆柱外表积的思路更加清晰。第 6 ~

12 题 要求灵便应用圆柱侧面积与外表积的知识解决问题，有时只需要计算侧面积，有时要 计算侧面积与一个底面积的和，有时是计算外表积。正确解答这些问题，需要子细读 题，准确理解题意，还要有相应的生活常识和经历。如通风管是没有底面的圆柱形 筒，计算通风管所用的材料，是求圆柱侧面积的问题。无盖的水桶可以看成惟独一个 底面的圆柱形，计算制作这样的水桶要用多少材料，是求圆柱侧面积和一个底面积的 和。