【参考答案】 【1】．D提示：由(i)i i a b +=+得1i i a b -+=+，则1,1a b ==-.故选（D ）. 【2】．A 提示：当1a=时，{}1N =，则N M ⊆，满足充分性；当N M ⊆时，则21a =或22a =，推不出1a =，不满足必要性.故选（A ）. 【3】．B提示：由已知可得该几何体由一球和一四棱柱组成，四棱柱的底面是边长为3的正方形，高为2，体积为23318⨯⨯=，球的体积为3439()322⨯π⨯=π，所以该几何体的体积为9182π+.故选（B ）.【4】．C 提示：2 6.635K ＞，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选（C ）.【5】．C提示：令22209x y a -=，则有30x ay ±=，所以2a =.故选（C ）. 【6】．D提示：33002cos 2sin S xdx x ππ===⎰故选（D ）.【7】．A提示：画出可行域，利用图解法求解，当且仅当直线z x my =+过点1(,)11mm m ++时有最大值2121m z m +=+＜，又1m ＞，解得11m ＜＜故选（A ）.【8】．D 提示：将t x =代入2(),()ln f x x g x x ==中，得到点NM ,的坐标分别为2(,)t t ，(,ln )t t ，从而2ln (0),MN t t t =-＞对其求导，可知当且仅当22=t 时取到最小.故选（D ）. 【9】．2提示：首先将曲线1C 和2C 的方程化为圆1C :()1122=-+y x ，和直线2C ：01=+-y x ，可以用代数法（0>Δ）或几何法（=<=01d r ）得到两曲线1C 与2C 相交.故有2个交点.【10】．9提示：22222222111()(4)144xy x y y x x y ++=+++≥59+=，当且仅当222214x y x y=时取等号.【11】．3提示：如图，连结EC ，AB ，OA ，由,A E 是半圆周上的两个三等分点可知：30EBC ∠=,且△ABO是正三角形，所以2,1EC BE BD ===，且3AF BF ==.故填3. 【12】．25 提示：因为11=a ，74=a ，所以2=d ，则25245515=⋅⨯+=d a S .故填25. 【13】．23提示：①当1=i，计算()1021=-+=x x S ；②当2=i ，计算()2211S x x =+-=； ③当3=i ，计算()2312S x x =+-=；④当34>=i ，计算32=S ，输出32=S .故填32.【14】．14-提示：设,,BC AB ==a b 则1,2AD AB BD =+=+b a 121,333BE BC CE BC CA =+=+=-a b 且1cos1202⋅==-a b ，所以=⋅121()()233+⋅-b a a b =2211113324-+⋅=-a b a b .故填14-.【15】．（1）()2P A =π;（2）()41=A B P提示：（1）是几何概型：()2πS P A S ==正圆；（2）是条件概率：()41=A B P .【16】．（1）2；（2）1093 提示：（1）由题意知32101212120202=⨯+⨯+⨯+⨯，所以(12)2I =；（2）在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有11C k -个，有2个0的有21C k -个，…，有m 个0的有1C m k -个，…，有1k -个0的有11C 1k k --=个. 故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：0112211111112+C 2C 2C 23.k k k k k k ------⋅⋅+⋅++⋅= 又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑.【17】．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0A π＜＜，所以sin 0A ＞.所以sin cos .CC =又cos 0C ≠，所以tan 1C =，则4C π=.（2）由（1）知34B A π=-，所以cos()cos()4A B A A π-+=-π-=πcos 2sin()6A A A +=+.因为304A π＜＜，所以11.6612A πππ+＜＜从而当62A ππ+=，即3A π=时，2sin()6A π+取最大值2.综上所述，cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==【18】．（1）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量为1件”）=153.202010+= （2）由题意知，X 的可能取值为2，3.(2)P X ==P （“当天商品销售量为1件”）=51.204= (3)P X ==P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量为2件”）+P （“当天商品销售量为3件”）1953.2020204=++= 故X 的分布列为：所以X 的数学期望为23.444EX =⨯+⨯=【19】．解法1：（1）如图2，连结OC ，因为OA OC =，D 是AC 的中点，所以AC OD ⊥.又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC PO ⊥，因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，而AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC .（2）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（1）知，平面POD ⊥平面PAC . 所以OH ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，所以PA OH ⊥. 在平面PAO 中，过O 作OG PA ⊥于G ，连结HG ， 则有PA ⊥平面OGH ，从而PA HG ⊥. 故OGH ∠为二面角B PA C --的平面角.在Rt △ODA中，sin 45OD OA =⋅︒=在Rt △POD中，==O H =在Rt △POA中，OG ===在Rt △OHG中，sin 5OH OGH OG ∠===所以cos OGH∠=== 故二面角B PAC --的余弦值为5解法2：（1）如图3所示，以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),O A B C P -，11(,,0)22D -， 设1111(,,)x y z =n 是平面POD 的一个法向量，则由110,0OD OP ⋅=⋅=n n，得111110,220.x y ⎧-+=⎪=所以1110,,z x y ==取11,y =得1(1,1,0).=n 设2222(,,)x y z =n 是平面PAC 的一个法向量，则由220,0PA PC ⋅=⋅=n n ，图3图2得22220,0.x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩所以22222,.1,x y ===取z得2(=n .因为()()121,1,00,⋅=⋅=n n所以12.⊥n n 从而平面POD ⊥平面PAC .（2）因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为3(0,1,0).=n由（1）知，平面PAC的一个法向量为2(=n .设向量23和n n 的夹角为θ，则2323cos ||||5θ⋅===⋅n n n n由图3可知，二面角B PA C --的平面角与θ相等，所以二面角B PAC --的余弦值为【20】．解：（1）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+， 故100315(||)(3||10)202y v c v c v v=-+=-+. （2）由（1）知，当0v <≤c 时，55(310)(3310)15;c y c v v v+=-+=- 当c v <≤10时，55(103)(3310)15.c y v c v v -=-+=+ 故(310)15,0,5(103)15,10.c v c vy c c v v 5+⎧-<⎪⎪=⎨-⎪+<⎪⎩≤≤1）当0c <≤103时，y 是关于v 的减函数， 故当min 310,20.2c v y ==-时 2）当103c <≤5时，在(]0,c 上，y 是关于v 的减函数；在(],10c 上，y 是关于v 的增函数， 故当min 50,.v c y c==时 【21】．解：（1）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e解得又从而故12,C C 的方程分别为.1,14222-==+x y y x（2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由2,1,y kx y x =⎧⎨=-⎩得210.x kx --=设()()1122,,A x y B x y ，，则12x x ，是上述方程的两个实根，于是 .1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为()0,1-，所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11122-=-++-=k k故,MA MB ⊥即.MD ME ⊥（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为1121,1,1,y k x y k x y x =-⎧=-⎨=-⎩由解得121,01 1.x k x y y k =⎧=⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，或， 则点A 的坐标为)1,(211-k k .又直线MB 的斜率为11k -， 同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是211111111|||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=.由1221,440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得.08)41(1221=-+x k x k解得12121218,140,141.14k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或， 则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++ 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+- 于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +⋅=⋅=++. 因此21122114(417).64S k S k =++ 由题意知，21211417(417),6432k k ++=解得214,k =或211.4k =又由点,A B 的坐标可知，2121111111,1k k k k k k k -==-+所以3.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和【22】．解：（1）由3(),[0,)h x x x x =-∈+∞，而(0)0,(1)1h h ==-<且，(2)60,0()h x h x =>=则为的一个零点，且()h x 在（1，2）内有零点.因此()h x 至少有两个零点.1221()31,2h x x x -'=--记1221()31,2x x x ϕ-=--则321()6.4x x x ϕ-'=+当(0,),()0,()(0,)x x x ϕϕ'∈+∞>+∞时因此在内单调递增，则()(0,)x ϕ+∞在内至多只有一个零点.又因为(1)0,0,()x ϕϕϕ><则在内有零点， 所以()(0,)x ϕ+∞在内有且只有一个零点，记此零点为111,(0,),()()0x x x x x ϕϕ∈<=则当时；当1(,)x x ∈+∞时，1()()0.x x ϕϕ>=所以，当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点；当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点； 当1(,),()x x h x ∈+∞时单调递增，则1()(,)h x x +∞在内至多只有一个零点. 从而()h x 在(0,)+∞内至多只有一个零点. 综上所述，()h x 有且只有两个零点.（2）记()h x 的正零点为0,x 即300x x =（i ）当0a x <时，由1,a a =即10.a x <而332100,a a x x =+<=因此20.a x <由此猜测：0n a x <.下面用数学归纳法证明.①当1n=时10,a x <显然成立.②假设当nk =（k ≥1）时，0k a x <成立，则当1n k =+时，由33100k k a a x x +=<=知，10.k a x +<因此，当1n k =+时，10k a x +<成立.故对任意的*0,k n a x ∈<N成立.（ii ）当a ≥0x 时，由（1）知，0()(,)h x x +∞在内单调递增，则()h a ≥0()0h x =，即3a ≥a从而321a a a ==3,a 即2a ≤a .由此猜测：n a ≤a ，下面用数学归纳法证明， ①当1n=时，1a ≤a 显然成立.②假设当n k =（k ≥1）时，k a ≤a 成立，则当1n k =+时，由31k k a a +=+a +3a 知，1k a +≤a .因此，当1n k=+时，1k a +≤a 成立.故对任意的*,n n a ∈N≤a 成立.综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*,n ∈N 都有n a ≤.M【End】。
