离散数学-半群

《离散数学》习题答案

一、单选题

1、(0,1),(1,2)A,则A（ C ）

A、(1,2 ) B、(0,3 ) C、[1,2 ] D、[0,3 ]

2、下列各式中，错误的是（ D ）

A、若ABAB，则AB B、若ABAC，则BC

C、若AB且CD，则ADBC D、若ABAC，则BC

3、(())()ABBAB的化简结果为（ D ）

A、A B、B C、AB D、

4、集合{1,2,,10}A上的关系{(,)|10,,}RxyxyxAyA，则R的性质

为（ B ）

A、自反的 B、对称的 C、传递的 ，对称的 D、反自反的，传递的

5、设集合A中有4个元素，则A上的不同的等价关系的个数为（ C ）

A、11 个 B、14个 C、15 个 D、17个

6、设集合{,,}Aabc，2A上的包含关系是（ A ）

A、自反的、反对称的、传递的 B、自反的、对称的、传递的

C、反自反的、对称的、传递的 D、反自反的、对称的、非传递的

7、设{,,}Aabc，{1,2}B，令:fAB，则不同的函数的个数为（ B ）

A、2＋3个 B、32个 C、23个 D、23个

8、函数的复合满足（ B ）

A、交换率 B、结合率 C、幂等率 D、分配率

9、若fg是满射，则（ A ）

A、f必是满射 B、f必是单射 C、g必是满射 D、g必是单射

10、R为实数集，运算定义为：,,||abRabab，则代数系统(,)R是（ A ）

A、半群 B、环 C、群 D、阿贝尔群

11、任何一个有限群在同构的意义下可以看作是（ B ）

A、循环群 B、置换群 C、变换群 D、阿贝尔群

12、设Z是整数集，，分别是普通加法和乘法，则(,,)Z是（ C ）

A、域 B、整环和域 C、整环 D、含零因子环

13、设A为一集合，((),)PA为有补格，()PA中的每个元素的补元（ A ）

离散数学--第⼗章群，环，域

群

基本定义

设V=是代数系统，∘为⼆元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群（代数系统的前提不要忘，详情可看第九章）

如果半群中有单位元==> 含⼳半群|独异点

含⼳半群还有逆元==>群通常记作G

群中的⼆元运算可交换==>交换群|阿贝尔群

Klein四元群

特征：1. 满⾜交换律

2. 每个元素都是⾃⼰的逆元

3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素

平凡群

只有单位元

有限群

群中元素有限

⼦群

如果把群看成集合，⼦群就是⼦集中能满⾜群定义的 ⼀个集合（可以有多个集合）

群是代数系统，最基本要满⾜封闭性！

真⼦群就类似真⼦集

⼦群判定定理：

设G为群，H是G的⾮空⼦集. H是G的⼦群当且仅当∀a,b∈H 有ab−1∈H（感觉很懵逼） 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H⾮空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa−1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea−1∈H，即a−1∈H. 任取a,b∈H，知b−1∈H. 再利⽤给定条件得a(b−1)−1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的⼦群.

⽣成⼦群：

设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}，则H是G的⼦

群，称为由 a ⽣成的⼦群，记作

例如：

Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有⽣成⼦群是：={e}, ={e,a}, ={e,b}, ={e,c}.

则偏序集< L(G), ⊆ >称为G的⼦群格

就相当于⼦群先变成偏序集然后就满⾜了格的定义？

因为是⼦群所以叫⼦群格？

右（左）陪集

设H是G的⼦群，a∈G.令Ha={ha | h∈H}

称Ha是⼦群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.

相当于右（左）乘a所得的集合？

循环群

设G是群，若在G中存在⼀个元素a,使得G中

的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，

元素a为循环群G的⽣成元。记G =.

⽣成⼦群就是⼀个循环群！G 的⼦群也是循环群

若G 是⽆限阶，则G 的⼦群除{e}外也是⽆限阶 （{e}是1阶）

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离散数学

一、单项选择题

1、（p∨(q∧r)）→(p∧q∧r)的主析取范式是：（B ）

A. ∑(0,1) B. ∑(0,1,7) C. ∑(0,7) D. ∑(1,7)

2、下列是真命题的是（A ）

A. 2是素数 B. 2+3=6 C. 雪是黑色的 D. 3能被2整除

3、设P：我们划船，Q：我们跳舞，命题“我们不能既划船又跳舞”符号化为（B ）

A. P Q B. ┐（P∧Q） C. ┐P∧┐Q D. ┐P∧Q

4、设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真

(A)

A. 自然数 B. 实数 C. 复数 D. 前面三者均成立

5、当P的真值是1,Q的真值是1 R的真值是0， 下列复合命题中真值为0的是（D ）

A. （PvQ）→R B. R→(P ʌ Q) C. (PvR) →Q D. (P ʌR)↔ ¬Q

6、设A=｛1，2，3｝，则下列说法正确的是（C ）

A. R={<1,1>，<2，2>，<3，3>，<1,2>}在A上是反自反的

B. R=｛<2，3>，<3，2>｝在A上是自反的

C. R=｛<1，2>，<2，1>，<3，3>在A上是对称的

D. R={<1，2>，<1，3>}在A上是对称的

7、下面关于集合的表示中，正确的是(B )．

A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈φ D. φ∈{a，b}

8、设A={Ø}，B=P（P（A）），以下不正确的式子是（ ） （分数：1分）

A. ．{{Ø }，{{Ø }}，{Ø ，{Ø }}}包含于B

B. {{{Ø }}}包含于B

C. {{Ø ，{Ø }}}包括于B

D. {{Ø }，{{Ø ，{Ø }}}}包含于B

单选题

设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（ ）闭包．

正确答案是：对称

设A、B是两个任意集合，则A-B = ( )．

正确答案是：A B

集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={|x=y且x, yA}，则R的性质为（ ）．

正确答案是：传递的

若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（ ）．

正确答案是：{a} A

若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ）．

正确答案是：1024

设集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，C={5, 6, 7}，则A∪B–C =( )．

正确答案是：{1, 2, 3, 4}

设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．

正确答案是：{,{1}, {a}, {1, a }}

若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．

正确答案是：{ a }A

设函数f：N→N，f(n)=n+1，下列表述正确的是（ ）．

正确答案是：f是单射函数

若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．

正确答案是：AB，且AB

集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={|x+y=10且x, yA}，则R的性质为（ ）．

正确答案是：对称的

设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（ ）．

正确答案是：8

设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A的（ ）．

正确答案是：极大元

设集合A={a}，则A的幂集为( )．

正确答案是：{，{a}}