九年级数学上《特殊平行四边形》单元测试含答案

第一章 特殊平行四边形

一、选择题(本大题共6小题，共24分)

1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是( )

A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形

B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形

D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

图1

图2

3．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的度数为( )

A．75° B．65° C．55° D．50°

4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )

A.125 B.65 C.245 D．不确定

图3

图4

5．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是( )

A．2.5 B.5 C.32 2 D．2

6．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )

图5

A．(2，2 3) B．(32，2－3)

C．(2，4－2 3) D．(32，4－2 3)

二、填空题(本大题共6小题，共30分)

7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．

8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm.

图6

图7

9．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．

10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．

图8

图9

11．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．

图10

12．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．

三、解答题(共46分)

13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．

图11

14．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．

(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；

(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？

图12

15．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．

(1)求证：四边形AEDF是菱形；

(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.

图13

16．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.

(1)求证：△ABG≌△AFG；

(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；

(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．

图14

1．C 2.D 3.B 4.A

5．B ．

6．C

7．6 .

8．4

9．(2＋2，2)

10．45° .

11．12 12.758

13．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.

∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，

即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，

∴四边形BEDF为菱形．

(2)∵正方形ABCD的边长为4，

∴BD＝AC＝4 2.

∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－2 2＝2 2，

∴S菱形BEDF＝12BD·EF＝12×4 2×2 2＝8.

14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.

∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，

∴AE＝CF.

∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，

∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，

即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．

(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．

∵运动时间为t，

∴AE＝CF＝2t，

∴EF＝20－4t＝12，

∴t＝2；

当点E在OC上，点F在OA上时，

EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，

∴t＝8.

因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．

15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，

∴在Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，

在Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF.

又∵AB＝AC，

∴AE＝AF＝DE＝DF，

∴四边形AEDF是菱形．

(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，

∴AE＝3.

设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，

∴x2＋2xy＋y2＝49.①

由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，

∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，

∴(12y)2＋(12x)2＝32，

即x2＋y2＝36.②

把②代入①，可得2xy＝13，

∴xy＝132，

∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134.

16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.

∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，

∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

AB＝AF，AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．

(2)如图所示：

(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，

∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.

∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°.

第一章

特殊平行四边形

评价检测

(45分钟

100分)

一、选择题(每小题4分,共28分)

1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )

A.每一条对角线平分一组对角

B.对角线相等

C.对角线互相平分

D.对角线互相垂直

【解析】选C.∵矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,

∴平行四边形具有的性质就是矩形,菱形,正方形都具有的性质,∴矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分.

【知识归纳】矩形、菱形、正方形对角线性质的区别

(1)矩形的对角线相等但不垂直.

(2)菱形的对角线垂直但不相等.

(3)正方形的对角线相等而且垂直.

2.如图,矩形ABCD中,E在AD上,且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则AE的长是 ( )

A.3 B.4 C.5 D.7

【解题指南】解答本题的三个关键

(1)由矩形的性质和EF⊥EC,EF=EC,得出△AEF≌△DCE.

(2)由全等得AE=CD,再结合矩形的周长,求出AD.

(3)用AD减DE得出AE的长.

【解析】选A.∵矩形ABCD中,EF⊥EC,

∴∠DEC+∠DCE=90°,∠DEC+∠AEF=90°,

∴∠AEF=∠DCE,

又∵EF=EC,∴△AEF≌△DCE,∴AE=CD,

∵矩形的周长为16,即2CD+2AD=16,

∴CD+AD=8,

∴AD-2+AD=8,AD=5,

∴AE=AD-DE=5-2=3.

3.下列说法正确的是 (

)

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

【解析】选D.∵对角线相互平分且互相垂直的四边形是菱形,∴A,B选项错误;∵对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,

∴C选项错误;D选项正确,故选D.

4.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是 ( )

A.2 B. C. D.