概率论常见的几种分布

概率论-常见的概率分布模型

常见的概率分布模型

离散概率分布函数

离散概率分布也称为概率质量函数（probability mass function），离散概率分布的例⼦有

伯努利分布（Bernoulli distribution）

⼆项分布（binomial distribution）

泊松分布（Poisson distribution）

⼏何分布（geometric distribution）等

连续概率分布函数

连续概率分布也称为概率密度函数（probability density function），它们是具有连续取值（例如⼀条实线上的值）的函数，连续概率分

布的例⼦有

正态分布（normal distribution）

指数分布（exponential distribution）

β分布（beta distribution）等

联合分布函数

给定⼀个随机变量(X,Y)，称定义域为整个平⾯的⼆元实值函数

F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)−∞≥x,y≤∞

该⼆元实值函数为随机变量(X,Y)的分布函数，也可以称为是(X,Y)的联合分布函数。

按照联合分布函数的定义，F(x,y)=P((X,Y)∈D

xy)，其中D

xy如下图所⽰

Processing math: 100%

多项分布（Multinomial Distribution）

多项分布简介

多项分布是⼆项分布的推⼴，他们的区别是⼆项分布的结果只有0和1两种，多项式的结果可以有多个值。

多项分布的典型例⼦是掷骰⼦，6个点对应6个不同的数，每个点的概率都为1

6

与⼆项分布类似，多项分布来⾃于(p

1+p

2+⋯+p

k)n多项式的展开

多项分布公式解析

以掷骰⼦为例，掷骰⼦的时候掷1−6的概率都为1

6，记作p

1−p

6，可以发现p

1+p

2+p

3+p

4+p

5+p

6=1，现在把

p

1+p

2+p

3+p

4+p

5+p

6记作做⼀次抽样各种事件发⽣的概率和，即可得(p

1+p

2+p

3+p

　[收稿日期]

２０１９Ｇ０８Ｇ１１;

　[修改日期]

２０１９Ｇ１０Ｇ２０

　[基金项目]

２０１７

年合肥工业大学青年教师教学研究项目:优质在线课程资源在«概率论与数理统计»课程教学中的

应用研究(JYQN１７０２);

２０１８

年安徽省教学研究项目:«概率论与数理统计»课程混合式教学模式改革实

践(２０１８

jyxm１００３)

　[作者简介]钱开燕(

１９７３－),女,讲师,从事代数编码理论的研究

．Email:

k

yqian０６＠sina．com

　[通讯作者]宁荣健(

１９６２－),男,副教授,从事计算数学研究和大学数学教学

．Email:

nr

jian＠１２６．com．第３５

卷第６

期大　

学　

数　

学Vol．３５,

№．６

２０１９

年１２

月COLLEGEMATHEMATICSDec．２０１９

概率论中常见分布之间内在联系的探讨

钱开燕,　

宁荣健

(合肥工业大学数学学院,合肥

２３０００９)

[摘

要]概率论中的常见分布之间存在某些内在联系,研究其内在联系可以提高教学质量,激发学生

的学习兴趣,具有一定的理论价值和应用价值．

本文对概率论中常见分布之间的内在联系进行探讨．

[关键词]常见分布;内在联系;随机变量函数的分布

[中图分类号]

O２１１．３,

O２１１．５ [文献标识码]

C [文章编号]

１６７２Ｇ１４５４(

２０１９)

０６Ｇ００５８Ｇ０５

１　

问题的提出

在概率论与数理统计课程教学中,介绍了概率论中的常见分布,其中离散型随机变量的常见分布主

要有两点分布B(

１,

p),二项分布

B(

n,

p)、泊松分布

P(

λ)、几何分布

G(

p),连续型随机变量的常见分

布有均匀分布U[

a,

b]、指数分布

E(

λ)、标准正态分布

N(

μ,

σ２)

．

并且在教学中已经介绍了它们之间的

某些联系．

比如

(

i)设随机变量

X

１,

X

２,􀆺

X

n相互独立均服从B(

１,

p),则∑n

i＝１X

i~B(

n,

p)

．

(

ii)设随机变量

X

~B(

n,

p

n),

lim

n→∞n

p

n＝λ(

λ

＞０),则当

n

充分大时,X

~近似

第３１卷第９期　Ｖｏ１．３ｌ　Ｎ０．９　重庆工商大学学报（自然科学版）　Ｊ　Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｏｌ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｕｎｉｖ．（Ｎａｔ　Ｓｃｉ　Ｅｄ）　２０１４年９月　Ｓｅｐｔ．２０１４　文章编号：１６７２－０５８Ｘ（２０１４）０９－０００１—０５　

几种概率分布高阶原点矩的计算木　

姜培华　（安徽工程大学数理学院，安徽芜湖２４１０００）　摘　要：首先通过巧妙利用贝塔分布、Ｆ分布与ｔ分布三者之间的关系，推导给出三大抽样分布高阶原　点矩的计算公式；其次借助递推关系、－－４展开式和伽玛积分推导出正态分布、威布尔分布和对数正态分布　高阶原点矩的计算公式；最后利用上述公式给出这些分布的数学期望和方差的一些相关推论．　关键词：贝塔分布；　分布；Ｆ分布；正态分布；威布尔分布；对数正态分布；原点矩　中图分类号：０２１２．１　文献标志码：Ａ　

正态分布又称高斯分布，是概率统计中最重要的分布之一，很多统计推断都是基于正态分布的假设，以　标准正态分布为基石而构造的“三大抽样分布”在实际中有着广泛的应用，这三个概率分布不仅有明确的背　景，而且其密度函数有明显的表达式．威布尔分布和对数正态分布是两种重要的寿命分布，威布尔分布在可　靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式，被广泛应用于各种寿命试验　的数据处理．对数正态分布常用于刻画绝缘材料的寿命和设备故障的维修时间．高阶矩是随机变量的重要数　字特征，它在金融投资、保险和数据传输中都有着重要的应用，是求变异系数、偏度和峰度系数等其他特征　的前提，更是参数估计和统计推断的基础，因此高阶矩的计算尤为重要．文献［１－７］重点研究了几类离散型　分布的高阶原点矩的计算，如二项分布、负二项分布、泊松分布、几何分布和超几何分布等．此处考虑六类连　续型分布（　分布、Ｆ分布、卡方分布、正态分布、威布尔分布、对数正态分布）的高阶原点矩的计算，并给出其　精确的计算表达式．　

α

n0.250.100.050.0250.01

11.00003.07776.313812.706231.8205

20.81651.88562.92004.30276.9646

30.76491.63772.35343.18244.5407

40.74071.53322.13182.77643.7469

50.72671.47592.01502.57063.3649

60.71761.43981.94322.44693.1427

70.71111.41491.89462.36462.9980

80.70641.39681.85952.30602.8965

90.70271.38301.83312.26222.8214

100.69981.37221.81252.22812.7638

110.69741.36341.79592.20102.7181

120.69551.35621.78232.17882.6810

130.69381.35021.77092.16042.6503

140.69241.34501.76132.14482.6245

150.69121.34061.75312.13142.6025

160.69011.33681.74592.11992.5835

170.68921.33341.73962.10982.5669

180.68841.33041.73412.10092.5524

190.68761.32771.72912.09302.5395

200.68701.32531.72472.08602.5280

210.68641.32321.72072.07962.5176

220.68581.32121.71712.07392.5083

230.68531.31951.71392.06872.4999

240.68481.31781.71092.06392.4922

250.68441.31631.70812.05952.4851