将数学建模案例思想融入高等数学教学中-2019年精选教育文档

总第354期422021年1月STEM与创客教育STEM与高中数学建模相融合的教学设计吴 华 刘俊含摘　要：STEM教育所提倡的跨学科综合素养与新课标提出的数学建模素养有异曲同工之妙。如何在数学建模课堂上融入STEM教育理念以提升数学课堂的活动性，实现培养学生数学建模思维和STEM综合能力“双目标”是研究的核心。构建了融合STEM教育的数学建模教学模式，阐述了各环节的设计意图，并以新版高中数学教材中的数学建模活动为例对模式进行具体分析，尝试为高中数学建模的教学研究提供新方向。关键词：STEM；数学建模；高中数学；教学设计作者简介：吴华，硕士，教授；刘俊含，在读硕士研究生。辽宁师范大学数学学院，116029近年来，STEM课程主要以科学课、综合实践活动、动手操作课等形式[1]在中小学课堂开展。数学是STEM综合学科中唯一的基础学科，也是研究工程、技术、医学等先进领域的工具学科，让学生掌握一定数学思维和数学应用能力之后再进行多学科融合学习符合学生认知思维发展规律。数学建模素养是《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称新课标)提出的六大核心素养之一。数学建模素养指对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建解决问题的素养[2]。它要求学生将现实生活中的问题情境通过一定的背景知识数学化，抽象为数学模型求解。本研究将STEM渗透于数学建模素养的培养，以学校的数学建模课堂为依托，探索STEM教育的数学化，希望以此改善当前STEM教学存在的学科知识薄弱问题，促进高中数学课堂STEM理念的变革。一、研究背景STEM是科学(Science)、技术(Technology)、工程(Engineering)和数学(Mathematics)四门学科的简称，强调多学科的交叉融合。STEM教育并不是四门学科的简单叠加，而是要将四门学科内容组合成有机整体，以更好地培养学生的创新精神与实践能力[3]。STEM教育理念最初的目的是提升大学本科生的STEM整合能力，为科技行业输送综合性人才。20世纪末，STEM教育将关注重点转移至中小学[4]。经过快速发展，STEM教育在四门学科基础上逐步吸纳了艺术(Art)、阅读(Reading)等内容[5]。2015年，美国出台《STEM教育法(2015年)》，将计算机科学也纳入STEM教育，标志着STEM教育在美国的全面发展[6]。2017年，中国教育科学研究院STEM教育研究中心发布《中国STEM教育白皮书》，对STEM教育做了适合中国国情的定义，这使得STEM教育正式纳入我国教育信息化建设视野。STEM教育的兴起体现了21世纪对创新型人才的需要，其所强调的多学科素养，即STEM，素养是一种“跨学科的多元思维”指导下的知识综合运用能力[7]。二、高中数学建模素养的培养新课标设置的“数学建模活动与数学探究活动”主题课程旨在培养学生的建模素养，提高学生的实践能力和数学应用能力。新课标明确了数学建模内涵三要素，指出了数学建模的过程：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题；分析问题、建立模型；确定参数、计算求解；检验结果、改进模型，最终解决实际问题[2]。在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题，是“用数学的眼光观察世界”的过程；分析问题、建立模型，是“用数学的思维思考世界”的过程；通过收集到的数据确定模型参数、计算求解，是培养学生在数学建模、数据分析、数学运算等方面的素养；检验结果、改进模型，最终解决实际问题，是对学生数学建模、数据分析、数学运算等能力提出更高要求[8]。可以说，数学建模的整个过程都在发展新课标要求的学生的“四能”(发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力)，帮助学生达到“三会”(会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界)。43总第354期2021年1月三、融合STEM教育的数学建模1.STEM与数学建模相融合的可行性STEM理念强调跨学科整合，通过对项目问题的解决培养学生创新能力。数学建模活动以生活中的实际情境为背景，让学生以数学知识为基础，在经历数据收集、建立模型、模型改进等过程中解决实际问题。鉴于STEM教育和数学建模都是以实际问题为驱动的教学，将STEM运用于数学建模教学以形成一种新的教学模式并实践于数学课堂，对解决当前STEM教育多以综合实践活动课和校本课为主而忽视学科基础知识这一问题有一定作用，对以常规讲授为主的数学课堂教学也是一种创新。2.STEM与数学建模相融合的教学模式设计STEM与数学建模相融合的教学模式以学生数学建模素养的培养为目标，以问题解决和实践创新为导向。学生在数学课堂上既能学到数学知识，又能运用跨学科知识解决实际问题，从而实现个性化发展。这种教学过程改变了以往数学课堂的乏味枯燥，有利于提升学生数学学习兴趣。结合STEM教育理念和数学建模素养培养要求，本研究提出如图1所示的教学模式。图1　融合STEM教育的数学建模教学STEM与数学建模相融合的教学包含课堂教学和课下自学两个过程。课堂教学作为实现数学建模与STEM融合的主要环节，设计两课时完成一个数学建模项目。课时一包括问题数学化和问题“再加工”过程。课时二包括计算机求解与检验、分享与改进、模型“再创造”三个过程。在两课时之间，设计学生分组自学，以类似翻转课堂的形式让学生利用现有资源和媒介搜集与问题相关的学科知识、背景知识和实际数据。这一过程符合STEM教育的理念，体现了STEM与数学建模的融合。思考、合作、分享和反思贯穿了整个STEM教学过程。(1)问题数学化在现实情境中抽象出数学问题，激发学生认知冲突，引起学生对问题的思考。选取生活中能体现数学应用性的情境，设计的情境要贴合教学内容。合适的情境应当能反映数学的广泛应用性，与学生已有知识经验基本相符，与学生现有认知思维存在适当冲突，以确保学生的参与度、思维活跃程度和对新知识的新鲜感。(2)问题“再加工”这是课时一的教学重点。教师引导学生逐步分析问题，思考解决问题所需的条件和工具，还要考虑条件的获得途径。教师可以设置问题串，层层递进，鼓励学生多角度、全面、细致考虑问题。学生之间的相互启发也是促进学生学会思考的重要方式。(3)STEM翻转学习确立数学模型在对问题有了较全面分析之后，就要给学生充足的时间让他们对自己的想法加以验证。各小组在课下利用多途径查阅解决问题所需的数据和背景知识，教师和家长为学生提供必要的支持和建议。小组在有了一定思路后，要形成书面方案或模型报告。(4)计算机求解与检验在课时二的课堂上，学生在教师指导下利用MatLab，GeoGebra等计算平台对设计方案进行求解，并验证其合理性。学生的计算机操作技能在这一环节也会有一定提高。(5)分享与改进小组展示成果，师生讨论模型合理性和存在的问题，提出模型的优化建议。这是课时二的教学重点，如果教学计划允许，可安排学生用优化后的模型再一次求解，比较两次实验结果，体会数学模型的应用性。(6)模型“再创造”此过程体现了“特殊到一般”的数学思想，迁移运用是帮助学生理解数学在实际生产生活中广泛应用的重要过程。所谓“授之以鱼，不如授之以渔”，整个教学过程不只是教会学生一个数学问题，更是教会学生一种将实际问题化为数学问题的方法。3.高中数学建模的教学设计从STEM教育理念出发，以2019年人教版高中《数学(必修2•B版)》中《数学建模活动：生长规律的描述》一课为例，设计数学建模活动教学过程。(1)问题数学化学生阅读教材中的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》数据，经过思考可以得出，我国7岁以下女童身高增速先快后慢。教师继而向学生展示某地玉米在不同生长阶段的植株高度数据并引导学生发现规律，即玉米植株高度的增长呈先慢后快再慢的趋势。总第354期442021年1月STEM与创客教育教师通过“儿童身高和玉米植株高度的生长规律如何用数学语言来描述呢？”和“能否利用已有的数据来预测玉米植株未来的长势？”两个问题，引出本节课要解决的问题。本环节引入两个数学问题，“玉米植株高度”问题设计为课堂解决的问题，“儿童身高增长”问题为模型建成后的迁移运用。(2)问题“再加工”这一环节旨在培养学生全面思考问题的能力。教师以问题串的方式启发学生逐步将问题所需要的条件考虑全面。针对此问题，可设置以下问题串：玉米一年收获几次？玉米植株的生长高度可能与哪些因素相关？哪些因素可能对玉米的高度影响更大？能否用数学知识定量描述这种影响？实际生产中可以给种植玉米的农民提出哪些建议使玉米长得更高？能否预测下一年玉米植株的生长情况？该问题串以教材中的建模问题为背景，对教材的建模问题进行了合理拓展，目的是使学生在教师的引导下体会数学是可以解决很多实际问题的，鼓励学生用数学思维思考世界。(3)STEM翻转学习确定数学模型学生经历课时一后，以小组形式在课下了解我国玉米种植现状、近年来玉米产量与影响因素、玉米种植过程等一系列背景知识；通过国家统计局网站、农业部网站、气象局网等渠道收集影响玉米种植和产量的相关数据。这一过程体现了STEM的教育理念，学生间合作讨论，教师和家长指导和答疑，既解决了数学问题，又在科学、技术等方面取得一定收获。(4)计算机求解与检验模型的求解离不开计算机，教师在课时二的课堂上指导学生用GeoGebra软件经历“处理数据—生成模型图像—筛选函数—求解参数”的过程。筛选出的函数可能会与实际数据有一定偏差，因此需要对函数进一步修正。对于复杂的建模问题，还需要利用MatLab进行简单编程。刚开始学生会感到较大困难，但多次建模活动之后，学生对计算机的运用能力会有很大提升，还能体会将想法化为实际的快乐，实现了STEM教育所追求的目标。(5)分享与改进小组分享是学生自我完善的过程。设置问题如“对影响玉米植株生长的因素考虑得是否充分？”“用何种函数或数学公式更能准确地描述因素带来的影响？”“该怎样更好地假设未知量才能更准确地表示量的变化？”可引导学生在相互分享中有所收获。教师在这一环节是倾听者，更是启发者。学生在这节建模课的收获都会转化为以后解决建模问题的思考。(6)模型“再创造”学生用改进后的玉米模型求解“儿童身高增长”问题，会发现求解结果和实际数据有较大差别。此时教师要启发学生考虑人身高变化的实际，并改进“玉米模型”得到人身高生长的模型，这就是模型“再创造”。四、结语考虑到我国的教育实际和课程改革方向，STEM教育与数学建模教学的融合符合我国数学学科核心素养的培养目标，契合国家对数学人才和STEM人才培养的要求，有利于学生自身的全面发展。本文提出的融合STEM教育的数学建模教学还在理论阶段，接下来还需要教学实践来验证。参考文献[1] 梅浩,袁智强,郑柯.基于数学实验的STEM教育:以“探究金属的冷却模型”为例[J].教育研究与评论,2019,(3):38-44.[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018.[3] 余胜泉,胡翔.STEM教育理念与跨学科整合模式[J].开放教育研究,2015(4):13-22.[4] 胡卫平,首新,陈勇刚.中小学STEAM教育体系的建构与实践[J].华东师范大学学报(教育科学版),2017(4):31-39.[5] 李彤彤.创客式教学:面向核心素养培养的STEAM课程教学新范式[J].中国电化教育,2018(9):40-47.[6] UNDERWOOD S. M, COOPER M. M, CORLEY L. M. An investigation of college chemistry students' understanding of structure – property relationships [J]. Journal of Research in Science Teaching, 2013, 50(6): 699-721.[7] GRIFFITHS P, CAHILL M. The opportunity equation: Transforming mathematics and science education for citizenship and the global economy [J]. New York: Carnegie Corporation of New York and Institute for Advanced Study, 2019: 63．[8] 章建跃.数学建模活动的课程理解、教材设计与教学实施(续)[J].中学数学教学参考(上旬),2020(6):13-16.

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时间：2021年x月x日

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 页码：第1页 共5页

第 1 页 共 5 页 “数学建模”在高中数学解题的应用

高中数学具有极强的针对性，除了要对数学定理和公式进行理解掌握，还要对学生的数学思维进行培养，以形成严密的思维模式，以便学生在今后的学习过程中能独立地解决数学问题.随着新课改的推进，在设置高中数学教学时，越发重视学生的自主学习能力和创新能力.而要满足这样的培养目标，就需要转变学生的数学学习观念.教师为了实现这样的目标，也在不断地探索新的教学模式———“数学建模”.利用这种教学模式对学生的数学思维进行训练，可以刺激他们自主探索解题方法，引导他们将知识与生活进行联系，从而不断发展他们的创新思维能力.［1］

一、“数学建模”在解题中的重要性

对于“数学建模”学生虽有所了解，但缺乏更深层次的理解.而事实上，数学建模对高中数学的学习来说有着不可忽视的重要意义.1.借助建模思维准确审题.高中和初中相比，在数学学习上更需要借用建模思维来求解实际问题，这也凸显出从初中到高中的跨越，这种跨越在数学上所表现出的是在广度和深度上的质的飞跃.在高中阶段，很多数学问题都含有诸多的已知条件、干扰条件和隐藏条件，这就需要学生通过分析进行辨别，从而完成解答.例如，已知f（x）是一个偶函数，其定义域为［-1，1］，现有一函数g（x），其图像与f（x）的图像关于x=1对称，且当x∈［2，3］时，g（x）的表达式为g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3（a为实数），请写出f（x）的函数表达式.分析题意可知，这道题包含了多个数编号：

时间：2021年x月x日

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第 2 页 共 5 页 学模型，要想求解这道题，首先要抓住各模型之间的联系，而已知条件中的偶函数可以作为问题的切入点.首先观察g（x）的表达式，在坐标系中绘制出函数在x∈［2，3］时的大致图像，然后根据g（x）的式子假设两个公式，通过消元的方式对f（x）的表达式进行求解.2.借助建模思维化繁为简.对于一些复杂的题目，可通过建模进行简化.高中数学难度相比于初中数学具有较大幅度的提升，因此也呈现出难度系数大、准确度低、耗费时间长的特点.通过建模，能将繁杂的题目内容转化为简单的参数变量关系，更方便学生进行运用.［2］例如，证明cos2x+cos2（x+y）-2cosxcosycos（x+y）=sin2y这个等式.分析题目可知，这个等式包含了多种三角函数，而且还有平方关系.对于这类题目，一般的思路是利用转换公式对二次项进行降幂，这也是进行后续运算的关键.所以在求解时，可利用转化公式，用1+cos2x2代替cos2x等，这就从降幂的角度对问题进行了转化，也凸显出了数学模型的建立对求解问题的帮助.3.借助建模思维快速求解由于数学问题的复杂性，很多高中生绞尽脑汁地运算，却得到错误的结果，可见其在方法的选择上出现了问题.而利用数学建模，不仅能找到各对象之间的关联，还能对答案进行检验，在求解出结果后进行快速验算来判断结果的正确性，这也凸显了数学建模的优势和意义.例如，在对函数y=sinx-1cosx+2进行最值求解时，可以用sin（90°+x）替换cosx，然后代入函数进行建模，对其函数值的区间进行大致估算，最终进行精确求解.这种利用数学建模的方式，降低了求解的复杂性，而且保证了运算的准确率.

高中生数学建模教育教案

一、引言

数学建模是指运用数学知识和方法，针对现实生活中的问题进行建立数学模型、分析和解决问题的过程。这一过程不仅能够提高学生的数学素养，还能培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。本教案旨在为高中生设计一套完整的数学建模教学方案，以帮助他们更好地理解和应用数学建模的方法和技巧。

二、教学目标

1. 了解数学建模的定义和基本流程；

2. 学会选择适当的数学模型，解决实际问题；

3. 培养学生的团队合作和创新思维；

4. 提高学生的数学运算和推理能力。

三、教学内容

1. 数学建模的基本概念和意义；

2. 数学建模的基本流程：问题的提出、建立数学模型、求解模型、结果的验证和分析； 3. 不同类型的数学模型及其应用：线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型等；

4. 数学建模中常用的数学方法和工具：数学分析、优化算法、统计分析等；

5. 案例分析和实践操作：通过实际问题进行建模和求解。

四、教学方法

1. 讲授法：通过课堂讲解，向学生介绍数学建模的基本概念和步骤；

2. 探究法：引导学生主动思考和解决问题，培养其自主学习和合作探究的能力；

3. 实践法：组织学生进行案例分析和实际问题的建模实践，提高其应用数学建模的能力；

4. 讨论法：引导学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作。

五、教学过程

1. 导入：通过引发学生的思考，讨论数学建模的意义和作用； 2. 讲解数学建模的基本概念和流程，引导学生了解不同类型的数学模型及其应用；

3. 案例分析：选取具体案例，进行问题的提出和建模过程的讲解；

4. 小组活动：将学生分成小组，进行实际问题的建模和求解；

5. 学生展示与总结：学生展示小组成果，进行问题的分析和总结。

六、教学评估

1. 作业评估：布置相应的作业，考察学生对数学建模的理解和应用能力；

2. 课堂表现评估：观察学生课堂参与情况、讨论表现和小组合作情况；

3. 实际问题解决评估：评估学生在实际问题解决过程中的建模能力和解决效果。

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《高等数学》“课程思政” 优秀教学案例

一、课程基本情况

《高等数学》是理工、经管类专业大一学生必修的一门公共基础课，全年共176学时，是学习后继专业课程的重要基础，也是考研的必考科目。在本课程的教学中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及一定的数学建模能力，培养学生熟练的运算能力和知识综合运用能力，同时还需注重思想政治教育的融入，帮助学生建立正确的世界观、人生观、价值观，实现全方位的三全育人教学目标。

二、“课程思政”的建设理念和教学设计

高等数学教学要将知识传授、能力培养和价值塑造有机结合在一起，挖掘课程中的思政元素，在教学中深化思政教育，实现全程育人、全方位育人。因此，本课程的教学目标分为三个层面。

1.知识目标：掌握数学基本理论知识（数学概念、定理）、基本技能及数学思想方法。

2.能力目标：培养学生用数学思想方法解决实际应用问题的能力和创新能力。 3.德育目标：通过数学文化、数学思想和数学精神的渗透，提升数学素养，培养学生积极进取，脚踏实地的作风，增强学生的文化自信和爱国情怀。

教师应发挥主观能动性，借助国内外数学文化、数学知识、数学方法中含有思政思想的教学内容，在提高数学趣味性、实践性的同时，使教书育人功能在课堂中能够完全贯穿其中，培养学生严谨治学、开拓创新、坚持真理、一丝不苟的科学精神，增强学生的爱国热情、社会责任感、民族自信、人文精神。可以从以下几个方面着手：

1. 从教学内容的定理、定义、方法中挖掘思政教育元素；

2. 从课程内容的起源和发展，利用数学史中的内容，实现思政教育的融入；

3. 结合课程特点对学生进行辩证唯物主义教育；

4. 从学生的日常行为进行思政教育；

5. 教师要严于律己，发挥表率的作用。

三、“课程思政”教学特色和创新

由于高等数学教学内容比较抽象、复杂，学生学习难度较大，在课堂教学过程中很难提升学生的学习兴趣，导致课堂学习气氛过于压抑，学生活跃度和学习热情不高。在教学中融入数学家历史故事、数学文化、哲学思想、文学艺术知识、中国和世界传统文化、社会热点问题等内容，既能对学生进行思想政治教育，又可以激发学生的学习兴趣，从而提高高等数学的教学质量，培养德、智、体、美、劳全面发展的新时代大学生。